思考プロセス
方程式 -1 = 0 ･･･ ① を満たす虚数の1つをαとするとき
...
(1) z = a,a, α も方程式 ① を満たすことを示せ。
z
(2)(1-α)(1-α) (1-α) (1-α) の値を求めよ。
見方を変える
(2) 方程式 ①
J(1) より,解はz=1, a, a', a, ad
【変形すると (z-1) (z4+2+2+2+ 1) = 0
||
(2- ]) (2-
Action 》 α が "=1の解ならば, 1, α, 2,
a5
解 (1) α は ① を満たすから α = 1
(-1= (a)-1=1°-1=0
(a)-1= (a)3-1=13-1= 0
このとき
(a4)5-1 = (α5)4-1 = 14-1=0
•••(z) と表せる。
.・.・, α"-1 も解であることを利用せよ
よって, z=d, a, a4 はいずれも ① を満たす。
(2) ① を変形すると
(z-1) (z4+2+2+z+ 1) = 0
ここで,①は5次方程式であるから5つの解をもち, 1,
a,d', ', 4 はすべて異なるから, (1) より ① の解は
z = 1, a, a², a³, a¹
よって, 方程式 24 +2+2+z+1=0 … ② の解は
z=α,a2, 0, 4 であるから
24+2+2+2+1=(z-α) (z-α°)(za)(z-α4)
両辺に = 1 を代入すると
(1-α)(1-α)(1-α°) (1-α*) = 14+13 +1+1+1= 5
z = d,c,d のとき,
いずれも2-1=0を満
たすことを示す。
②の左辺はこのように因
数分解される。この式は
zについての恒等式であ
る。
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