この例題において、増減表を書く時赤丸で囲ってあるところがなぜそのように書けるのかが分かりません。どうやってそう判断してるのですか？教えて欲しいです🙏

。 6章 37 3 最大値・最小値、 方程式・不等式 基本 例題217 最大値・最小値から3次関数の決定 00000 <a<3とする。 関数f(x)=2x-3ax2+b (0≦x≦) の最大値が10. 最小値が 18のとき, 定数a, bの値を求めよ。 指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。 解答 基本211 11の増減表から最小値はわかるが,最大値は候補が2つ出てくる。よって、その最大 値の候補の大小を比較しαの値で場合分けをして最大値をα 6で表す。 f(x)=6x2-6ax=6x(x-a) f(x) = 0 とすると x=0,a 0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x)の増減表は次の ようになる。 Xx 0 f'(x) f(x) 00 3 335 値を求めよ 基本 数になる。 主意。 含むときの注意点。 の3次関数になる。 る。 1=21 極小 b-a b-27a+54 よって, 最小値はf(α) = b-αであり b-α=-18 y f(0) f (3) を比較すると 最大値はf(0)=b または f(3)=6-27a+54 ①最大・最小 また, ① < (最小値) =-18 極値と端の値をチェック (3)-f(0)=-27a+54=-27(a-2) ①大小比較は差を作る ゆえに 0<a<2 のとき (0) (3) 0 2≦a<3のとき(3)(0) 2 [1]0<a<2のとき,最大値は よって f(3)=6-27a+54 b-27a+54=10 すなわち 6=27a-44 (最大値) = 10 最小 これを①に代入して整理すると a-27a+26=0 条件。 ゆえに (a-1)(a²+a-26)=0 2>0 1 10-27 26 1 1-26 _M=logaM* 1±105 +10gaN=loga. よって a=1, 11-26 0 2 0<a< 2 を満たすものは a=1 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 このとき ①から b=-17 [ [2] 2≦a<3のとき,最大値は f(0)=b 最大 よって b=10 これを①に代入して整理すると Xの値を求 を求めよ a3=28 2833 であるから, a=28>3となり、不適。 [1],[2] から 練習 a=1, 6=-17 (最大値) = 10 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 a,bは定数とし, 0<a<1とする。 関数 f(x)=x+3ax2+b (−2≦x≦1) の最大 217 値が 1, 最小値が-5となるような α, bの値を求めよ。 [類 大阪市大〕 (p.344 EX140

4です。 この積分はどういう考え方で解けばいいでしょうか。

(4) ex - e - x d x Sex = 1/6 (6) Serszdx 自分 まる [信州大] [広島市大]

この問題の(3)の赤の下線のところが何故かわからないです。教えて頂きたいですm(_ _)m

264 〈定積分と不等式〉 区間[a, b]で f(x)≧g(x)ならばff(x)dx≧Sg(x)dx 等号は、常に f(x)=g(x) であるときに限って成り立つ。 定積分と絶対値については,Sof(x)dx = Self(x)dx が成り立つ。 等号は,区間 [a, b] で常に f(x) ≧0 または常に f(x) ≦0 のときに限って成り立つ。 (1) x-1=(x-1)(x-1+x-2+･･････+1) であるから Sox dx = (x1+x1)dx 2-2. 1 =S" (x+x++) dx + Sox dx == 1 -x' x" xn-1 = + + n n-1 x" x-1 x-1 +x]+[log|x=1|]" a<1 * Sox dx = a²+log(1− a) = S„(a)+log(1−a) k=1 k (2)0 <a<1のとき (1) の結果から | Sn(a)-log11|=|Sn(a)+log(1−a)| ◆α <1 のとき log|a-1 log (1-a) xn dx dx x-1 B B 絶対値の性質 A |A| =So 1xdx 0≦x≦a <1 においては √x−1| x">0, |x-1=1-x であるから また,立 So 11x | dx = So 1 x a よって 1-x dx = 11Sx" dx a an+1 -1(x+1)=(n+1)(1-a) S.(a)-log(+1 (3) α <0 のとき, (2) と同様にして (n+1)(1-a) S.(a)-log-|dx| a≦x≦0 においては Sdxdx =S11x dx |x|=(-x)", |1x|=1-x 1 また, 1 であるから 1-x よって So 1x1 dx = (x)" dx = (-x)"dx Ja 1-x n+10 --- n+1 |S.(a)-log (a) a Ja (-a)n+1 n+1 ◆x<1より x-1<0 声より Soxdx = xdx ◆α < 0 なので上端と下端を 入れ替える。 ◆x≦0 のとき |x|=|x|"=(-x)"

マーカーの部分が分かりません！ 合成関数についての問題です

例題 13 合成込 2以上の定数aに対して,f(x)=(x+a)(x+2) とする。このとき, ★★★☆ f(f(x)) > 0 がすべての実数xに対して成り立つようなαの値の範囲を求 めよ。 思考プロセス (京都大) 1 章 条件の言い換え すべてのxに対して すべてのxに対して すべてのxに対して f(f(x)) > 0 f(x) < -a または - (f(x)+a)(f(x) + 2) > 0 -2<f(x) (I) x) (S) Action» 不等式 f (f(x)) > 0 は, f(x) のとり得る値の範囲を考えよ (f(x)+α)(f(x)+2) > 0 drink 京都市大 f(f(x)) >0... ① とおくと (ア) a=2のとき ① は, (f(x) + 2)2 > 0 より {(x+2)2 + 2}^ > 0 (京都大) これはすべての実数xに対して成り立つ。 (イ) α > 2 のとき 一 α = 2 は題意を満たす。 関 すべての実数xに対して①が成り立つための条件は, すべての実数xに対して が成り立つことである。 f(x) <-a. ② または 2 < f(x) ... ③ ただし, f(x) は2次関数であるから,②③のいずれ か一方のみが成り立つ。 |y=f(x) (i) y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, す べての実数x に対して②となることはない。 (ii) すべての実数xに対して③ となるとき ③は -2 < (x+a)(x+2) x2 + (a + 2)x + 2 (a+1) > 0 ... ④ ④がすべての実数xに対して成り立つための条件は, ☆☆☆☆ -akh 関数 p.17 大きくなる a2x y=-a y=x2+(a+2)x+2(a+1) 2次方程式 x2+(a + 2)x + 2(a+1)=0 の判別式をD とすると D<0 ... D= (a+2)2-4 • 2(a + 1) = a² −4a-4 a-4a-4 = 0 を解くと a=2±2√2 よって, α >2 より ⑤の解は 2 <a<2+2√2 (ア)(イ)より、求めるαの値の範囲は 2≤a<2+2√2 0 (+ x (1) α-4a-4<0 の解は 2-2√2 <a<2+2√2 ない点 こと

なぜt>0とわかるのですか？

84 重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の 点 Q を,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。 (A) OP・OQ=4 |点Pが直線x=1上を動くとき, 点 Qの軌跡を求めて、図示せよ。 [類 大阪市大 (B)Qは,Oに関してPと同じ側にある。 基本110 運動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く 指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。 P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P Qの関係は 点Qが半直線 OP 上にある⇒X=tx, Y=ty となる正の実数tが存在する このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yをx, yの式で表す。 そして、点Pに関 する条件 X=1より,x,yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。 B 点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。 解答 Qは直線 OP上の点であるから Q(x, y) P(X, Y) X=tx, Y=ty (tは実数) ただし,点Pは原点と異なるから t≠0, (x, y)≠(0, 0) 更に, (B) から, t> 0 である。 (A)から √x²+ y²√(tx)²+(ty)²=4 ゆえに t(x2+y2)=4 よって t=- x+ye 4x したがって X=- Y=- x2+y2. を消去する。 x2+y2 (−1)=0. 点Pは直線x=1上を動くから 2 4x x+y=1s(1S)AX=1に X=x2+y^ 4x を ゆえに よって x2+y2-4x=0 (x-2)+y2=4 代入する 50-m-(1-)+1+ したがって, 求める軌跡は 中心が点 (2,0), 半径が20円。 0 12 14 ただし, (x,y)≠(0,0)である T から,原点は除く。 注意 本間は、反転の問題 -2 である。 反転については, 図示すると,右図のようになる。交=g0g 次ページ参照。」 ceal.c:

写真の(3)の問題が理解できません。 (3)の解答の4行目からが自分では理解できないのですが、上手く説明出来る方いらっしゃいませんでしょうか？早めに回答していただけると幸いです。 よろしくお願い致します。

数学C ベクトル 133 ベクトルの和差 定数倍 正六角形ABCDEF において, AB=d, AF =6 とする. 線分ADとBEの交点をO, 線分 OC の中 点を G, 線分 GE を 2:1 に内分する点をHとする. 次のベクトルを、dを用いてそれぞれ表せ。 (1) AE (2) AG (3) AH 18 A b F B ( 東京都市大) G 2 HO C D E 解答 (1) BO=AF = に注意すると, AE=AB+BE=AB+2BO=d+26 (2) OC=AB=dに注意すると, AG=AB+BO+OG=AB+BO+120=1+6+12/02/20+ (3) GH HE=2:1であるから, GH = GE 3 である. これより, 引き算を使うと始点を変えることができる.つ AH-AG=2(AE-AG) まり、 GH=■H■G AH-AG+fAE-JAG という形で,自分の好きな始点に変えられる みようと = 1/1AG + 12 / AE JAG+AE = 1/3 = (³a+b)+(a+26) 3\2 内分の公式からこれを求めてもよい (1)(2)の結果を代入した 7 5 +

積分です こちらも解き方お願いします

37 [2021 東京都市大] 2 定積分 10g(x'+x)dxを求めよ。 1

積分です 解き方教えてくださいお願いします

a 36 [2021 東京都市大] 定積分 xcosxdx を求めよ。 52021

n=k+1 のときの式　(k-1)･2^[k-1]まで理解したんですが、なぜそれが0以上になるのかわかりません！！

練習 nは自然数とする。次の不等式を証明せよ。 ②57(1) n!≧27-1 [名古屋市大〕 (2)n≧10 のとき 2 証明する不等式を ① とする。 (1)[1] n=1のとき (左辺)=1!=1, (右辺) =2°=1 よって, ①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 2 (8+) k!≧2k-1 ②+sic)(3)(1+++ n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると, ②から あ ゆえに (k+1)!-2(k+1)-1=(k+1) ・k!-2k ≧(k+1) ・2-1-2.2k-1 (k+1)!≧2(k+1)-1 =(k-1)・2k-1≧0 よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。

解答にa<0,1,aのとき~と書いてあると思うですが、どこからこの考え方が出てきたのでしょうか。回答お願いします。

(TSLq41 23 07 演習題(解答は p.127 ) a は実数とする. 3次方程式+3ax2+3ax+α=0の異なる実数解の個数は、定数a の値によってどのように変わるかを調べよ. (横浜市大・理系) 極値の積の正負 る. 120