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考え方
[Check
例題
解
a1=2, an+1=2an+1
で定義される数列{an}の一般項an を求めよ.
285 漸化式 an+1=pan+q (p≠1)
bn+1=pbn
こわいとでき、数列{bn}は公比』の等比数列となる.
の等比数列となる。同
与えられた漸化式を, an+1-a=p(an-a)...... (*) 漸化式
の形に変形できれば, an-a=bn とおいて,
解より
p+,nd=in R
こ
このαを求めるには、次の方程式 (**) を解けばよい.
= pan+a(1-p)
もとの漸化式 an+1= pan+ α と等しくなるには,g=α(1-b) であればよい.
つまり、変形すると、 a=pa+q...(**) となり, この式は,もとの漸化式の an+1 と
an を αでおいた方程式と同じになる。この方程式を特性方程式という.
an+1=3・2n-1
よって,
(別解) an+1=2an+1① より,
②-① より,
ocus
2010 JAN
an+1=2a+1より, an+1+1=2(an+1)=左野さ=2a+1
より, α=-1
数列{an+1} は,初項 α1+1=2+1=3, 公比 2 の等比数列
REPUE
だから,一般項は,
慣れるまでは,
an+1=6n とおいて,
数列{bn} を考える
an=321とよいかを考
an+2=2an+₁+1......2
3 ptxd
an+2an+1=2(an+1-an)
an+1-an=bn とおくと, bn+1=26m となり, 数列{bn}
は,初項 bı=a2-α=2a+1-a=a+1=3,公比2の
等比数列より
bn=3.2n-1
#lpt
n-1
32-1-1)
n≧2のとき, an=ax+20=2+ 2-1
k=1
n=1のときも成り立つから,
3 漸化式と数学的帰納法
**
ON
an+1=pan+q (p⇒1)
this.
an=3.2-1-1
注 特性方程式 α = pa+q (p≠1)
漸化式
(慶應義塾大)
an+1= pan+α
の特性方程式
a=pa+q
-=3.22-1-15-3)x=x
140
n=1のときを確認
α=3.2°-1=3-1=2
d
anti-α = p(an-α)と変形して等比数列に帰着
IACH
特性方程式を用いず
階差数列を利用する.
{bn}は{an}の階差
数列
3 p+xd=x JctJ
an+1=pan+g・･･･① について, an+1 と an を α とおくと,
a=pa+q
......2 ◆ 特性方程式」
①-②より,
an+1-α = p(an-α) ...... ③
①p+md と変形でき,②を解くと③に入れるαの値を求めることができる.
(③を展開すれば①の式になる.このことも確認しておくとよい.)
