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基本 例題 81 2 直線の交点を通る直線
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00000
2直線x+y-4=0
たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。
①, 2x-y+1=0.
(1) 点 (1,2)を通る
②の交点を通り、次の条件を満
(2) 直線x+2y+2=0に平行
基本 80
指針 2直線 ①②の交点を通る直線の方程式として、次の方程式 ③を考える。
k(x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数)
(1) 直線 ③が点(-1, 2) を通るとして、 kの値を決定する。
(2)平行条件 babi=0 を利用するために,③ を x, yについて整理する。
CHART 2直線f=0, g=0 の交点を通る直線 kf+g=0) を利用
3章
1 直線の方程式、2直線の関係
k は定数とする。 方程式
解答 k(x+y-4)+2x-y+1=0.
は 2直線 ①,②の交点を通る直線
を表す。
(-1,2)
(1) 直線③が点 (1,2)を通るか
ら
すなわち
-3k-3=0
k=-1
これを③に代入して
-(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち x-2y+5=0
(2)③をx,yについて整理して
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
0
②
別解として, 2直線の交
点の座標を求める方法
直線 ③ が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は
(k+2) ・2(k-1)・1=0
よって
k=-5
これを③に代入して
-5(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち x+2y-7=0
もあるが、 左の解法は今
後、重要な手法となる
(p.168 例題 106 参照)。
検討
与えられた2直線は平
行でないことがすぐに
わかるから確かに交
わる。 しかし、 交わる
かどうかが不明である
2直線f = 0, g=0の
場合, kf+g=0 の形
から求めるには,2直
線が交わる条件も必ず
求めておかなければな
らない。
参考
③ の表す図形が, [1] 2直線 ①,②の交点を通る [2] 直線であることを示す。
[1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。 その交点(x, y) は, xo+y-4=0,
2.x-yo+1=0を同時に満たすから,kの値に関係なく,k(x+yo-4)+2xo-+1=0が成り
立ち,③は2直線① ② の交点を通る。
[2] ③ を x,yについて整理すると (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
k+2=0, k-1=0 を同時に満たすkの値は存在しないから ③は直線である。
なお、③は,kの値を変えることで, 2直線 ① ② の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ
けは表さない。
