2次方程式の解の存在範囲 (3)
基本例題 98
2次方程式x^2-2(a-1)x+(a−2)2=0 の異なる2つの実数解をα, β とす
るとき,0<a<1<B<2を満たすように,定数aの値の範囲を定めよ。
[類 立教大 〕
③ 基本 96,97
CHART & SOLUTION
TATAHO
2次方程式の解が2数p,gの間 グラフをイメージ
f(p), f(g) の符号に着目
f(x)=x−2(a-1)x+(a−2)2 とすると, y=f(x)のグラフは
下に凸の放物線で、 右の図のようになる。
解の存在範囲が0<a<1, 1<B<2 となるようにするには, f(0),
(1) f(2) の符号に着目する。 右の図から
f(0)>0かつf(1) <0かつf(2)>0
0 B2x
を満たすようなαの値の範囲を求めればよい。
Got
f(x)=x2-2(a-1)x+(a−2)2 とする。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,
0<a<1 <β<2 となるための条件は
フをイメージする。
f(0)>0かつf(1) <0かつf(2)ら3つの条件がすべて必要。
である。
例えば, f(0)>0 でなく,
f(0) <0 とすると,
ここで
(0)=(a−2)2
y=f(x)のグラフは,
f(1)=1−2(a-1)+(a−2)2=a²-6a+7
f(2)=4-4(a-1)+(a−2)2=a²-8a+12
次の図のようになり,
適さない。
{}<=(a-2)(a-6) 27²(829-10
201
[(a−2)²>0
......
2
であるからではα²-6a+7<0 と
......
(2)
(a-2)(a-6)>0 ...... (3)
...... 4 8 & 0<(0)X
①から 2 以外のすべての実数
②から 3-√2 <a <3+√2
③から a<2,6<a
......
6
④,⑤,⑥ の共通範囲を求めて
範囲⑥
6₂ (0)>3-√2<a<2
なお
2 17
(4) <0のとき、2次方程3-1/22/3+1/26a
Din
●数2との大小関係を考え
放物線。
-0<(071 (0)
軸はx=-2(a-1)
2.1
(軸) >2
A
8 10 a
x
α-6a+7=0の解は
a=3±√20 [s]
]
-CA IN
3章
11
2次不等式
る｡
