ドイツの数学オリンピックの問題です。 問題を解いたのですが、正しい回答なのか、また、どうやって数学的に答えるのか今一わかりません。ご回答､よろしくお願いいたします。日本語に訳してます｡ 2025年のドイツ数学コンテスト第4問は、長方形の枠を使った戦略ゲームがテー... 続きを読む

leswettbewerbs Mathematik 2025 Aufgabe 4 Für ganze Zahlen m,n ≥ 3 besteht ein mxn-Rechteckrahmen aus den 2m+2n-4 Randquadraten eines in mxn Quadrate unterteilten rechteckigen Feldes. Die Abbildung zeigt beispielhaft einen 4x7-Rechteckrahmen. Auf einem solchen mxn-Rechteckrahmen spielen Renate und Erhard nach folgenden Regeln, wobei Renate beginnt: Wer am Zug ist, färbt eine rechteckige Fläche, die aus einem einzelnen weißen Quadrat oder mehreren weißen Quadraten besteht; gibt es danach noch weiße Quadrate, so müssen diese weiterhin eine zusammenhängende Fläche bilden. Wer den letzten Zug macht, hat gewonnen. Bestimme alle Paare (m,n), für die Renate eine Gewinnstrategie hat. Anmerkungen: Zwei Quadrate, die sich nur an einer gemeinsamen Ecke berühren, sind nicht zusammenhängend. Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen. der Rückseite beachten! Nicht vergessen: Einsendeschluss 3. März 2025

囲ってあるところの計算方法がわかりません。どなたかお願いします。

題 222 3 次関数のグラフとその接線の共有点 曲線 C:y=x-4x+2x 上の点P (1/3 2727) における接線と曲線Cの 共有点のうち、点P以外の点Qのx座標を求めよ。 « ReAction x=aにおける接線の傾きは,f(a) とせよ 例題 217 「段階的に考える I. 接線の方程式を求める。 II. 接線と曲線 C の方程式を連立して共有点のx座標を求める。 考のプロセス LO 5 章 14 導関数の応用 連立してyを消去した方程式は,x = を重解にもつから (x-1)(x-1)=0 (x-α) = 0 と因数分解できる。 傾き y′ = 3x2-8x +2 より, x= 1/32 のとき = 1/3 よって、 接線の方程式は まず、接線の方程式を 求める。 7 y- 27 1/2(x-1/13) すなわち 1 10 y = x+ 3 27 接線と曲線 C の共有点のx座標は 1 10 x-4x2+2x=-x+ YA 27 P 7 10 x3-4x2+ 0/1 x x- = 0 3 27 x= 13 10 を重解にもつ 2 2 x 1/31) (x-1) 10 = 0 から (12/3)を数 を因数に もつ。 左辺を 10 よって, 点Qのx座標は x_ 3 1/23)(x-1)とおい (別解〕 て、定数項を比較して 点Qのx座標をα とおき, 曲線Cの点Pにおける接線 の方程式を y=mx+n とおく。 α = 10 3 と考えてもよい 接線と曲線 C の方程式を連立すると 3次方程式の解と係数の 関係を用いる方法。 m, n の値を具体的に求めずに αを求めることができる。 x3-4x2+2x=mx+n x3-4x2+(2-m)x-n=0 1 54 例題 この3次方程式の解がx= (重解), αであるから, 3 1 1 解と係数の関係より + +α=4 3 3 10 10 a = より,点Qの x 座標は 3 3次方程式 ax+bx+cx+d=0 の解がα, β, yのとき a+β+y=- b a

3の（a)まではできたのですが、(b)(c)がさっぱりわかりません。 bとcの解き方を教えていただきたいです。

3. f(x) = 4x2 + 6x + 7,x ∈ R (a) Write f(x) in the form a (x+b)2 stating the values of a,b and C. [5m] f(x) = 4x²+6x+7 =H[ペナ岳x+(音部+ =4 [(x+2)2-36 =4++ 19 64 :. A = 4, b = 1/4 C = 14 ] +7 (b) Write down the value of x for which f(x) is a minimum and state the minimum value off(x). f(x)が最小となるxの値と f(x) の最小値を述べなさい。 f(x)=19 x= -2/4, f(x) = 144 女 [2m] (c) Find the set of values of x for which f(x) <17. f(x)<17 f(x)<17となる [4m] 4x2+6x+1 Xの値のセットを求めなさい 4x2+6×-10-0 2 (2x²+3x-5) <0 (2x+5)(x-1)<0 + 囁くつく x 5

(2)の問題の解き方が分からないです とにかくやってみたのですが、上手くいきません💦 分かる方いらっしゃいましたら教えて頂けると嬉しいです よろしくお願いします🙇‍♂️

20 20 練習 35 S=1+2r+3r2++nrn-1 とする。 (1) r=1のとき, Sを求めよ。 (2)=1のとき,Sを求めよ。

(4)が分かりません。 線で引いた所って、なぜaの隣に◻︎があるのですか？ 先に並べたn.r.w.g.gの隣には◻︎はないのですか？教えてください。

確率 79 Check Box 解答は別冊 p.170 10個の文字, N, A, G, A, R, A, G, A, W, A を左から右へ横1列に並べ る。 以下の問いに答えよ. (1)この10個の文字の並べ方は全部で何通りあるか. 「NAGARA」 という連続した6文字が現れるような並べ方は全部で何通り あるか. (3)N,R,W の3文字が,この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか。 ただし,N,R,W が連続しない場合も含める。 ④ 同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか.

(1)の問題を、階差数列で解いたのですが、解答と答えが違いました。 検算もして間違ってるとは思えないのですがどこがダメなのでしょうか,,, どなたか教えていただきたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

446 基本 例題 例題 24 数列の和と一般項, 部分数列 0000 初項から第n項までの和 S が Sn=2n-nとなる数列{a} について (2) 和α1+α+as+......+α2-1 を求めよ。 (1) 一般項 αn を求めよ。 指針 (1) 初項から第n項までの和S”と一般項 αの関係は n≧2のとき Sn=a1+a2+ +an-tan -)Sn-1=a+az+...... +αn-1 p.439 基本事項 基本 48 Sn-Sn-1= n=1のとき α=Si an よって a=S-S 和 S がnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項 am を求め すで表す

（2）のシスセソタを求めるときにQRがなぜ5と分かったのですか？2枚目は解説です。

72 (1) 点を中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点 を AB=6 となるようにとる。 また、円の円周上に, 2点A,Bとは異なる点Cをとる。 sin∠ACB-アである。また,Cを∠ACBが鈍角となるように とるとき, cos ∠ACB=イ である。 点Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに な直線を引き、直線AB との交点をDとするとき, tan ∠OAD=ヴである。また,△ABCの面積はオである。 ア 0 1 ウ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい) 3/5 3 ③ 1 3 5 (6) - 3 -1 (2) 半径が5である球Sがある。 この球面上に3点 P Q R をとったとき れらの3点を通る平面α上で PQ=8, QR=5, RP=9であったとする。 球 Sの球面上に点T を三角錐 TPQR の体積が最大となるようにとるとき その 体積を求めよう。 カ #F, cos ZQPR- であることから,△PQR の面積は ケコである。 次に、点Tから平面αに垂直な直線を引き, 平面αとの交点をHとする。 このとき、PH, QH, RH の長さについて, が成り立つ。 以上により、三角錐 TPQR の体積はシス(セン+√ タ である。 サ の解答群 ® PH<QH<RH © QU<PH<RH RH<PH OH PHI OH RH PH<RH<QH QH<RH<PH ⑤ RH<QH<PH [23 共通テスト] 73 (1) (2

ほぼ分からないので…わかる問題あれば、1問でも解説頂けるとありがたいです…🥲🥲

1 次の問いに答えよ。 (1) 392の正の数は何個あるか 2 392の正の約数の総和を求めよ。 (1) 12 (2) 855 8. 男子8人, 女子6人の中から4人の委員を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。 (1) すべての選び方 (2) 男子2人、女子2人を選ぶ。 (3) 女子から少なくとも1人選ぶ。 (4) 男子、女子から少なくとも1人ずつ選ぶ。 (5) 特定の2人A. Bがともに選ばれる。 (6) Aは選ばれ,Bは選ばれない。 2. 大文字 X, Y および小文字 x, y, z, w が書かれたカードが1枚ずつ、合計6枚ある。 これらを1列に並べるとき、 以下の問いに答えよ。 (1) 1001 通り (2) 420通り (3) 931 通り (1) 両端が小文字である並べ方は何通りか。 (2) 小文字の書かれたカード4枚が一続きに並ぶような並び方は何通りか。 (3) 大文字 2枚が隣り合わない並べ方は何通りか。 (4) 916 (5) 66通り (6) 220通り (4) よりzが前よりyが前, yよりxが前にある並べ方は何通りか。 (1) 288通り (2) 144 通り (3) 480通り (4) 30通り 9. 右図のように、南北に7本, 東西に6本の道がある。 次の問いに答えよ。 北 P 3. 5個の数字 0 1 2 3 4から異なる 4個を使って4桁の整数を作るとき、 次のような整数は何個あるか。 (1)0地点を出発し, P地点へ最短距離で行く道順 は何通りあるか。 LA 西 東 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 偶数 (20地点を出発し, A地点を通り, P地点へ最短 距離で行く道順は何通りあるか。 (4) 10の倍数 (3) 0地点を出発し, A 地点とB地点の両方を通 り P地点へ最短距離で行く道順は何通りある か。なお,同じ道を何度通ってもよいとする。 B 0 南 (1) 6 (2) 3個 (3) 60個 (4) 24個 4. a, b, c,d,eの5文字を並べたものを, アルファベット順に, 1番目 abcde, 2番目 abced 120 番目 edcba と番号を付ける。 (1) cbeda は何番目か. (1) 462通り (2) 150通り (3) 1350通り (2) 40番目は何か. (1) 60 (2) bdcea 5. 円卓の周りに男子3名, 女子3名を並べる。 次の問いに答えよ。 (1) 並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 男子の3名。 女子の3名がかたまって並ぶような並べ方は何通りあるか。 (3) 男女交互に並ぶような並べ方は何通りあるか 10. 次の計算式を使って解くような問題をひとつ作りなさい。 8C2X6C3=560 (通り) (1) 120通り (2) 36通り (3) 12通り 11. 6.(1) 8人を, 2つの部屋 A, B に入れる方法は何通りあるか。 ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 (2) 8人を2つのグループA, B に分ける方法は何通りあるか。 (3)8人を2つのグループに分ける方法は何通りあるか。 ※以降の問題は考え方・解答を記述すること。 1 aaabbed の7文字から4文字を取り出す。 (1) 選び方は何通りあるか。 (2) 1列に並べるときの並べ方は何通りあるか。 [1] 同じ文字を3個含む場合 aaa で, 残り1個は 3通り その並びは、 (通り) [2] 同じ文字を2個ずつ含む場合 aabb で (1) 256通り (2) 254 (3) 127 通り その並びは、 4! 2121 (通り) [3] 同じ文字2個を1組だけ含む場合 aa または bb で、 残り2個は [C-3 (通り) 7. SUUGAKUの7文字を1列に並べるとき、 次の並べ方は何通りあるか。 (1) 1列に並べる。 (2) GAUSU という文字列を含むように並べる。 (3) Uはすべて奇数番目にくるように並べる。 (4) Uは2つ以上隣り合わないように並べる。 4! その並びは、 (通り) 2! [4] 4個とも異なる文字の場合 abed で ①通り その並びは、 41 (通り) したがって、 組合せの総数は 3+1+3×2+1=11 (1) 840 通り (2) 6.通り (3) 96通り (4) 240通り 順列の総数は -x3+ -x3x2+4!x1=114

x-3yなのにx-y=0になるのは何故ですか？？x-3y=0じゃないんですかね、ノート取るのミスったのかなー、、誰か教えてください😭

s) (3) (LHS)- (RHS) =2x²+9g2-6xy 2x²-6x7 +972 (= x² + (x²-6xy +972) =ズ+(x-3) 立30 ≧0 Q また、等号は〇かつオー=0 すなわち、y=0のとき成り立つ。

全体集合Uの部分集合A,Bについて 14の(3)〜(6)がわかりません。

214 全体集合 Uの部分集合A,B について, n(U)=100,n(4)=36,n(B)=42, n (A∩B)=15であるとき、 次の個数を求めよ。 (1) n(A) (4) n(AUB) (2)n(B) (SUA) (3) n(ANB) (5) n(AUB))-00) (6) n(ĀNB) 50 教p.15 例2 4