28
基本 例題 11
合成関数
00000
11
関数 f(x) =2x+3,g(x)=-x2+1, h(x)= について、 次の合成関数
x-1
を求めよ。
(1)(f°g)(x) (2) gf)(x)
(3) ((f°g)h) (x)
(4) (f°(g°h))(x)
g(x)の値域定着球に含まれるか
p.26 基本事項 2
CHART & SOLUTION
合成関数 (gof) (x)
(gf) (x)=g(f(x)),g の順序がポイント
(1) 合成関数(f°g)(x) → (f°g)(x)=f(g(x))
g(f(x)) と間違えないように。 f(g(x))はf(x)のxにg(x) を代入。
f(x), g(x)の定義域は実数全体, f(x) の値域は実数全体, g(x) の値域は1以下の実数全体
h(x) の値域は0以外の実数全体であるから,(1)~(4)のいずれの合成関数も存在する。
解答
(1) (f°g)(x)=f(g(x))=2(-x2+1)+3=-2x²+5
(2) (gof)(x)=g(f(x))=-(2x+3)2+1=-4x²-12x-8
(3)((f-g)-h)(x)=(f-g)(h(x))=(Sg)(x)
=-2(x-1)+5=(x-1)+5
(4)(g-h)(x)=g(h(x)=(x-1)+1=
よって
1
(x-1)2
z+1
(f·(g·h))(x)= f((g-h)(x)) = f((x-1)²+1)
Sim (1),(2)から
fogg f
一般には,交換法則は成
食器立たない。
=2(x+1)+3(fog)(x)とかの
2
==
(x-1)2
+5
←(1) から
linf.
(f°g)(x)=-2x2+5
まず(goh)(x) を求め
240
(f°g)on=fo(goh
結合法則は常に成り立
また,これを単に
③または値は? fgんと書く。
(>21-) +
jinf. 上の例題において, (hof) (x) を考えてみよう。 h(x)の定義域はx=1であるか
f(x)=1のとき, (hof) (x) は定義できない。 しかし,f(x)の定義域をx≠-1 に
f(x) の値域を x≠1 とすると, (hf) (x) を定義できる。 このとき,
(hof) (x)=h(2x+3)=-
1
(x-1)である。
2x+2
