指数方程式の問題です。 序盤も序盤ですが、 なぜこのふたつの問題で 2^X＝t とおいているのは同じなのに tの範囲が異なるのでしょうか(t＞0、t＞1) よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

D 187 指数方程式の解の個数[1) 開 ★★★☆ 方程式 4-2x+2 +k = 0 の異なる実数解の個数を調べよ。 の値の範囲 4'-2+2+k=0 の 2" =t とおく 異なる実数解の個数 r-4t+k = 0 の おける異なる実数解の個数 に 対応を考えるとの対応を考える 右の図から1つのtの値に対して,xは1つ対応 例題 188 指数方程式の解の個数[2] についての方程式 4+ (a+1)2 +1 + α+70 が異なる2つの正解を もつような定数の値の範囲を求めよ。 ReAction 文字を置き換えたときは, その文字のとり得る値の範囲を考えよ IA例題76 思考プロセス t=2 [1対1 4+ (a+1)2+1+α+7 = 0 が 異なる2つの正の解をもつ 対応を考える t=2 とおく t2+2(a+1)t + α+7 = 0 が どのような解をもつか? 1つのtの値に1つのxの値が対応 例題187 との違い... f(t)=aの形にすると,式が複雑になることに注意。 + (a+1)2 +1 +α+70…① とおく 182 2x = t とおくと, x>0よりt > 1 であり, ① は ･･･ ② +2(a+1) +α+7=0 底を2にそろえ, 2^= t とおく。 ... t=2* 4 章 x «WAction_f(x) =k の実数解は,y=f(x)とy=kのグラフの共有点を調べよ IA例題 118 与式を変形すると -(2F)2 +4.2 = k ... ① 4'= (2°)*= (2*)2 2x+2 = 2.22 = 42 指数関数 182 2 = t とおくと, t> 0 であり, ① は -12+4t = k .. 2 ここで, t = 2* を満たすx は, t> 0 であるtの値1つに 対して1つ存在する。 よって, 方程式 ① の異なる実数解の個数は, tの方程式 ② の10における実数解の個数と一致する。 ここで,f(t) + 4t とおくと f(t)-(2-2)'+4 方程式 f(t)kの1>0を満たす実 数は,y=f(t) (10)のグラフと 直線ykの共有点の座標である。 y4 y4 Myf(t) のグラフが軸とt>1の範 囲で2点で交わるのは、次の [1]~[3] を満たすときである。 y=f(t) 20個 ・1個 したがって、右のグラフより。 求める実数解の個数は k> 4 のとき 個 k [[1] f(t) = 0 の判別式をDとすると D 2個 10 2 4t 1個 IA ここでt=2を満たすxは,t>1であるの値1つに 対して x>0であるxの値1つが存在する。 よって、の方程式 ① が異なる2つの正の解をもつのは、 tの2次方程式 ②が1より大きい異なる2つの解をもつ ときである。 f(t) =P+2(a+1) +α+7 とおくと、 y y=f(t)| 2/4 = (a+1)-(a+7)= a +a-6 a+α - 6>0より (a+3)(a-2)>0 a .0 noiDAO 2次方程式の解と係数の 関係 α+β=-2(a+1) aβ=a+7 を利用して 判別式 D > 0 (α-1)+(B-1)>0 (a-1)(8-1)>0 からの値の範囲を求め てもよい。 ②を -(a+1), 01 D> 0 V

図で、Eがなぜこの位置に来るのかわかりません。図を書く時にどうすればいいかも含めて教えてもらえると嬉しいです。

例題 270 方べきの定理[2] ★★☆☆ △ABCにおいて,∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をD, △ABD の外 接円が直線 AC と交わる点を E, ACD の外接円 O′ が直線AB と交わ る点をFとする。このとき, BF =CE であることを証明せよ。同 条件 AB: AC=BD:DC 図を分ける 図1 E 円O A 分の長さの 図2 F 円0 思考プロセス AB B D B C 0に着目(図1) 1 円 0′に着目(図2) 方べきの定理 の構図 CA•CE = CD・CB BA・BF = BD BC "ReAction 円外の点と円周上の点の距離は, 方べきの定理を用いよ 例題 269 脚本 これらから、結論に含まれる BF, CE以外を消去する。 解 △ACD の外接円において, 章 19 1 円の性質と作図 E 方べきの定理により A F BA・BF = BD・BCおいて、 よって △ACD の外接円と円外の 点Bを考える。 BF= = BD・BCDC BA B ・① 2CMを大きしかし M 同様に, △ABD の外接円において, 方べきの定理により CA・CE = CD・CB GM OM CD.BC よって CE= CA 例題 248 ここで, AD は∠BACの二等分線であるから BD:DC= AB: AC RMS OMDB UMTS すなわち DC BD VBD AC AB △ABD の外接円と円外の 点Cを考える。 CD BD 次に, CA BA を示す ことができれば, ① と合 わせて証明が完成する。 角の二等分線と比の定理 14995 OMO ②に代入すると BD.BC CE= ・・・③ MOMO- AB ①③ より BF = CE GM-OM AH 1AO JAJ 内するときのことが成り 1813 14

(2)の青線部分が分かりません。なぜこうなるか、図など含めて教えてください🙇‍♀️

例題 262 メネラウスの定理と面積比 △ABCの3辺BC, CA, AB をそれぞれ1:2に内分する点をL,M,Nと し, ALCN の交点を P, ALとBM の交点を Q, BM と CN の交点を とする。 次の三角形の面積を △ABCの面積Sを用いて表せ。 (2) APQR (1) ABCR ReAction 高さ (底辺) の等しい三角形の面積比は, 底辺 (高さ)の比とせよ 逆向きに考える 例題255 見方を変える (1) BCR から始めて, △ABC へ広げていくには, どの線分の比が必要だろうか? ABCRと 似た構図 直接求めるか? M (2) APQR △ABC- (△PQR以外の部分) と考えるか? R B L (1) C 思考プロセス 解 (1) AN:NB = 1:2であり, CM:MA = 1:2よりで変わることは、 CM: AC=1:3 (3) 22 M ① R よって, △ABM と直線 CN につ いて, メネラウスの定理により B △BCR → △BCM →△ABCと広げていく ために, BMBRをメネ ラウスの定理を用いて求 める。 AC MR BN = 1 CM RB NA 3 MR 2 RM =1より 1 RB 1 BR 16 2 TMB LQ AAA <P (6) C よって RM:BR = 1:6 ゆえに BM:BR = 7:6 例題 255 したがって 6 ABCR = ABCM= 6 . -△ABC 7 7 1/3AABC=2S ACM: AC=1:3 例題 255 (2)と同様に, △BCN と直線 AL, △CAL と直線 BM について, メネ ラウスの定理を用いると BA NP CL =1より AN PC LB 3 NP 2 =1 1 PC 1 △CAP=△ABQ= よって P 2 M S R B L LAPQR = AABC-(ABCR+ACAP + AABQ) =S-3・ S よって NP:PC = 1:6 CB LQAM " BLQA MC M3 LQ 2 1 QA1 =1より よって LQ:QA=1:6

式を代入したら、代入法から、代入元の式が残ると思うのですが、引く場合は同値性はどうなるのですか？

例題 共有点の座標 次の2つの円の共有点の座標を求めよ。 思考プロセス ★★☆☆ (1) x2 + y2 = 10 ... ①, x2+y'+2x-2y60... ② (2)x2+y2 =1... ①, x2+y2-6x-8y+9=0 ② ≪ReAction 2つのグラフの共有点は, 2式を連立したときの実数解とせよIA 例題 96 円 f(x, y) = 0 と g(x, y) = 0 の共有点の座標 f(x, y) = 0 ◆ 連立方程式・ の実数解 lg(x, y) = 0 次数を下げる ① ② ともに x, yの2次式であり, 1文字消去しにくい。 ② ① を考えると, x2,y2 の項が消える。 解 (1) ② ① より 2x-2y-6= -10 すなわち y = x +2 ・③ これを 1 に代入すると x2+(x + 2) = 10 (000)x2+2x-3=0 (x+3)(x-1) = 0 VA (1,3) よってH x = -3,1 ③に代入すると /10 x=-3 のとき y = -1 -10 x x=1のとき y = 3 ① よって, 共有点の座標は (-3, -1), (1, 3) (-3,-1)... as 81 ③は、2つの共有点を通 ある直線の方程式である。 例題 108 参照。 ①に代入すると, x=-3のとき, y2=1 より y = ±1 となり, 不 適切なの値が得られて しまう。 2円は異なる2点で交わ る。

このページで言っているのは、適度に変形してから微分した方がよいということでしょうか？1番左上に、対数微分法の利点と書いてありよく分からなくなってしまいました。

Play Back 対数微分法の利点と不等式の証明 探究例題 5 不等式の証明での工夫 次の問題について,太郎さんと花子さんと次郎さんが話している。 問題: eを自然対数の底, すなわち e = lim1+ 817 +1) とする。すべての正の 実数xに対し、不等式(1+1)* <e が成り立つことを示せ。 (東京大改) 太郎: (右辺) - (左辺)=f(x) とおいて,微分すれば簡単そうだよ。 x f(x)=e-(1+1/2) とおくと, f(x) =･･･あれ? x ... 花子:(1+1/2) はそのままだと微分できないね。(関数) (M) のような形を微分する ときは、対数微分法を利用したよね。 太郎:なるほど。f(x)=e-(1+1/2) 2 の両辺の対数をとればよいかな。 次郎 : それだと, 対数微分法はうまくできないよ。 そもそも, lim 1+ x 1 817 =eより、 x→∞としたとき1+- の極限値はeとなるから,(1+1/2)がエン XC で単調増加することを示すことができればよいよね。 (次郎さんの解答) g(x) = 1+ +12) とおくと,x>0より g(x)>0であるから両辺の対数をと ると x logg(x)=log(1+1/2) ⇔logg(x) = x{log(x+1)-logx} 両辺をxで微分すると ... (A) 花子:対数をとるとよいということだね。 与えられた不等式を、対数をとって変形 してから考えるとどうなるかな。 (花子さんの解答〕 x>0より (1+1)>0であるから,(1+2) <e の両辺の対数をとると ⇔log(x+1)-logx- <0 ..① 10g(1+1/2) <1⇔x{log(x+1)-logx} <1 D (0 <) 18ol x 20 与えられた不等式と同値である① を示す。 ①の左辺をm(x) とおいて, m(x) を xで微分すると (B) (1) (A)に続くように,問題を解け。 (2) (B)に続くように,問題を解け。 (

(1)でなぜn＝2,5となるのか、と、そもそもなぜ余り3の時を考えるのかが分かりません。式など、途中の解き方を教えてください🙇‍♀️

例題 228 反復試行による点の移動 [1] 右の図のような, 1辺の長さが1の正六角形ABCDEF AT の頂点を移動する点Pがある。 さいころを投げて、 奇数 B が出ると反時計回りに 3, 偶数が出ると時計回りに1だ け点Pを移動させる。 点Aを出発点として, さいころを 5回投げたとき,点Pが次の頂点にある確率を求めよ。 (2)頂点C (1) 頂点 D ★★☆☆ E D no 思考プロセス さいころを投げる試行を5回 反復試行 ≪ReAction 反復試行の確率は,その事象が起こる回数を調べよ 例題 225 点Pが頂点 D,Cにあるためには、奇数偶数の目がに それぞれ何回ずつ出ればよいか考える。 未知のものを文字でおく 008 元/21個想 P 01 奇数の目が回出るとする偶数の目は (5-n) 回 点Pは反時計回りに (1)頂点D (2)頂点C だけ移動 -3, 39, 15, =..., = ..., -4,2, 8, 14, 正の向き 反時計回り 圀 さいころの奇数の目は135の3つであるから,奇数の 3 1か 目が出る確率は 6 2 があります。 さいころを5回投げて, 奇数の目がn回 (nは 0≦x≦5 の整数)出たとすると,点Pは頂点Aから反時計回りに 3n+(-1)・(5-n)=4n-5 だけ移動する。 とあります。 (1)点Pが頂点Dにあるのは, 4-5を6で割った余りが 3となる場合であるから, n=2,5のときであり,これ。 らは、互いに排反である。 の 活 このとき偶数の目が (5-n) 回出る。 出発点Aを基準に考える。 n 0 1 2 3 4 5 4n-5-5-13 7 11 15 2/13BFDBFD よって、求める確率はsco (2) (1/2)+(1/2)=12 32 05.0775111452 (2)点Pが頂点Cにあるのは, 4n-5を6で割った余りが 2となる場合であるが,これを満たす整数nは存在しない。 よって、点Pが頂点Cにあることはない。 したがって, 求める確率は0 上の表を参照。 228右の図のような, 1辺の長さが1の正六角形ABCDEF の頂点 を移動する点Pがある。 さいころを投げて3の倍数か 反時計回りに3, それ以外の数が出 18

この問題で、分母を因数分解して、それぞれの因数は分子の約数となるnを求めているのですが、どのように考えたらこと発想に至りますか？それぞれの因数が約数になるようにするというのが思いつきませんでした。

21 3n² + 174n+ 231 f(n)= n2+3n+2 が整数となるような自然数nをすべて求めよ。 ( 上智大 改 ) « ReAction (分子の次数)≧(分母の次数) の分数式は,除法で分子の次数を下げよ 例題 17 165n+225 整数 (1) 21日 (2) L (3) f(n) =3+ が整数 (n+1)(n+2) 候補を絞り込む 53- C [AはCの約数 が整数 ともに満たすnの値を求める。 AB BはCの約数 このnに対して必ずしも が整数になるとは限らないから, f(n) に代入して確かめる。 16 4×8 16 のときは16の約数で8は16の約数だが (整数でない) 4×8 165n+225 165n+225 f(n)=3+ =3+ n² + 3n+2 (n+1)(n+2) よって,f(n) が整数となるとき 165n+225 (n+1)(n+2) まず f (n) を帯分数式化 する。 も整数と なる。 このとき,n+1は165m +225の約数であるから 3 n²+3n+2) 3n² + 174n+231 3m² + + 6 165n+225 大学 思考プロセス → 165n+225=k (n+1) (kは整数) とおくと kn+k-165n=225 より (k-165)(n+1) = 60 nは自然数より,n+1は2以上の自然数であるから n+1=2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 よって +(k-165)(n+1) n=1,2,3,4,5, 9, 11, 14, 19, 29, 59 ① また,n+2は165 +225 の約数であるから81)=(3+3 +dp =225-165 +1は60の約数である。 (な である そのとり In+2l-165n= 225 より (Z-165)(n+2) = -105+d(8(Z-165)(n+2)り込む。 165n+225= l(n+2) (Iは整数) とおくと +2は3以上の自然数であるから n+2=3,5,7, 15, 21, 35, 105 01-=(814 =225-330 n+2は105の約数である。 よって n=1, 3, 5, 13, 19, 33, 103 ...S ①,②をともに満たすnは 逆に n=1,3,5,19 f(1) = 68, f(3) = 39, f(5) = 28, f(19)=11日①,②をともに満たす したがって n=1, 3, 5, 19 について, f (n) が整数 となるか確認する。 生

微分 ここで、からの 計算の意味がわかりません

例題 229 関数の最大・最小〔2〕･･･次数下げの利用 ★★★☆ 関数 f(x) = x+3x²+x-1 (−2≦x≦1) の最大値と最小値,およびそ のときのxの値を求めよ。 した 思考プロセス ≪ReAction 関数の最大・最小は, 極値と端点での値を調べよ 例題228 極値を求めるために f'(x) = 0 を考えると, f'(x) = 3x2+6x+1= 0 より x=-3±√6 3 既知の問題に帰着 ← これをf(x) に代入するのは大変。 931 ≪ReAction 高次式に無理数を代入するときは, 2次式で割った余りに代入せ♪ 例題12/ 解f'(x) = 3x2+6x +1 f'(x) = 0 とすると -3±√6 x= 3 ここで,2√63であるから 3x2+6x+1= 0 より -3 ±√32-3-1 x = 3 -3-√6 5 0, 2< 1-3+√6 -> <0 3 -3±√6 3 3 3 5 よって,-2≦x≦1 において,増減表は次のようになる。 -3±√6 x= が区間に 章 3 あ -3-√6 x -2... -3+√6 14 含まれるかどうか調べる。 ... ... 1 3 3 f'(x) + 0 0 + f(x) 1 極大 V 極小 4 導関数の応用 端を 小にも 直うを 例題 12 ここでf(x)=(3x+6x+1)-x+ +1)(1/3x+1/3) 43 4 x 43 4 ・次数下げをする。 13±√6 -3±√6 x となる 3 x= のとき、f'(x)=3x2+6x+1= 0 より 3 のは -3-√6 4 -3-√6 3 -3+√6 3 3 4 -3+√6 43 -3 46 9 f'(x) = 3x²+6x + 1 = 0 のときであるから,f(x) を3x + 6x+1で割った 余りを考える。 = 3 3 8 4√6 4 < 9 より 9 3 -3-√6 = 4, fl 3 したがって 3+√6 3 x=1のとき 最大値 4 3+√6 4√6 x= のとき 最小値 - 9 3 43 4√6 9 y 4F am <f(-2)=1 -3+√6 3 N -3-√6 1. 4/6 3 9 x 練習 229 関数 f(x)=x-3x-6x+8 (−2≦x≦3)の最大値と最小値、およびその ときのxの値を求めよ。 409 p.430 問題229

なんで角A1O A2=2π/n になるんですか？

例題 55 図形と三角関数の極限 周の長さが1の正n角形 (≧3) において (1)この正角形の外接円の半径をnの式で表せ。 (2)この正角形の面積Sをnの式で表し, limS" を求めよ。 思考プロセス 図を分ける 円に内接する正n角形 ⇒中心と各頂点を結び, n個の二等辺三角形に分ける。 (1) OA₁sin ZA₁OM₁ = A₁M₁ In を用いて表す (2) Sn = AAOA, Xin n を用いて表す ≪ReAction 三角関数の極限は, lim- 0+0 sin = 1 を利用せよ 例題 54 解 (1) 正角形の隣り合う2つの頂点を A1, A2, 外接円の中心を0とすると A1 Act 2π ZA₁OA₂ n A1A2 の中点を M1 とすると, △AOM は直角三角形となり, M1 A2 A1 M₁ rn まず、隣り合う2頂点と 外接円の中心とでできる 三角形について考える。 8300--% 2π n 108) 大正大 0908) ma anil Emil coulte OA1=rn, A1A2 1 n Xeros) ** π OA1 sin = = AM1 より π 1 rn Sin n n 2n 1 よって rn = 立 2nsin 出 n (2) Sn = (½rm²³sin 277) 2 2 xn= 22 n 例題 54 1 2π sin 2 π 4n² sin² n 三角形の面積は1/2 besin A n 2sin COS π π COS n n n n == 2 π 4n² sin² π 4nsin n n π ここで,n→∞のとき → +0 であるから S₁ = OM, •A1A2Xn 1 π 2 rn COS n n n とてもよい。 n π n 1 π 1 lim cos. lim Sn = lim • COS n COSO n→∞ π 4π n 4π sin 関 面積に近づく。 円周の長さが1である円

加法定理の問題についてです。 (1)で、tanの値を出すところまでは理解できました。 しかし、1番最後になぜ急にθの値が出てくるのかがわかりません… よろしくお願いします🙇‍♀️

例題 153 2直線のなす角 (E) LEX 2直線 3x-y= 0 ･･･ 1, 2x+y-40…② について 2直線のなす角0 (0≦0≦)を求めよ。 > at (1) 1200 (1) (2) 直線 ① π の角をなし,原点を通る直線の方程式を求めよ。 6 « ReAction 2直線のなす角は,tan (傾き) を利用せよ IA 例題132 IA例題 (1) (1) 直線 ①とx軸の正の向きのなす角を 01 直線 ②とx軸の正の向きのなす角を 02 001,2の関係は0 -0 tan 01 = 200=(マーズ) 800 tan O2 = 法を用いよ (2) 図をかく ① 条件 を満たす直線は,右の図のように2本ある。 5(1) Action» 2直線のなす角0は, tan の加法定理を利用せよ 1 (1) 1, ②がx軸の正の向きとなす角をそれぞれ01, O2 | 直線 y=mx+k がx軸 すると tan61=3,tan02=-2 かたむき 002-01 であるから = tan0 = tan(02-01) の向きとなす角を ②(0≦)とすると = m tan 0 ≤ 0 ≤ CD + yoony=mx+k tan02-tan01 4 +x 0 = 0であ 1+tan O2 tan O1 102 01 x -2-3 uniyria +xeps =1 1+(-2)320" 交点を通るx軸に平行な 01 02 π 0 2 より 0 = 直線を引き、 同位角を考 える。 Jei 2 4 1+