Play Back 対数微分法の利点と不等式の証明 探究例題 5 不等式の証明での工夫 次の問題について,太郎さんと花子さんと次郎さんが話している。 問題: eを自然対数の底, すなわち e = lim1+ 817 +1) とする。すべての正の 実数xに対し、不等式(1+1)* <e が成り立つことを示せ。 (東京大改) 太郎: (右辺) - (左辺)=f(x) とおいて,微分すれば簡単そうだよ。 x f(x)=e-(1+1/2) とおくと, f(x) =･･･あれ? x ... 花子:(1+1/2) はそのままだと微分できないね。(関数) (M) のような形を微分する ときは、対数微分法を利用したよね。 太郎:なるほど。f(x)=e-(1+1/2) 2 の両辺の対数をとればよいかな。 次郎 : それだと, 対数微分法はうまくできないよ。 そもそも, lim 1+ x 1 817 =eより、 x→∞としたとき1+- の極限値はeとなるから,(1+1/2)がエン XC で単調増加することを示すことができればよいよね。 (次郎さんの解答) g(x) = 1+ +12) とおくと,x>0より g(x)>0であるから両辺の対数をと ると x logg(x)=log(1+1/2) ⇔logg(x) = x{log(x+1)-logx} 両辺をxで微分すると ... (A) 花子:対数をとるとよいということだね。 与えられた不等式を、対数をとって変形 してから考えるとどうなるかな。 (花子さんの解答〕 x>0より (1+1)>0であるから,(1+2) <e の両辺の対数をとると ⇔log(x+1)-logx- <0 ..① 10g(1+1/2) <1⇔x{log(x+1)-logx} <1 D (0 <) 18ol x 20 与えられた不等式と同値である① を示す。 ①の左辺をm(x) とおいて, m(x) を xで微分すると (B) (1) (A)に続くように,問題を解け。 (2) (B)に続くように,問題を解け。 (

1 思考プロセス g(x) = の増減を調べ,g(x) <e を示す。 >(+1) <e ⇔ log 1+ (1) 対数微分法を用いてg'(x) =... g(x) g(1+1)* - loge < 0 見方を変える m(x)= _の増減を調べ,m(x) <0 を示す。 微分して m'(x) = ReAction 関数の増減は, 導関数の符号を調べよ IIB 例題 220 g'(x) (1) = g(x) log(x+1)-logx+x 1 x+1 x SIT = log(x+1)-logx- h(x)=log(x+1)-logx 1 (2) 章 x+1 1 とおくと, x>0 におい x+1 1 1 1 て h'(x) = 1 (x)の正負が分からない ため,さらに微分して増 減を調べる。 x+1 x (x+1)2 <0 x(x+1)2 よって, h(x) はx>0で単調減少する。 x→∞ また, limh(x) = lim{log(1+1/2)-111}=0であるか(x)の正負を考えるため いろいろな微分の万月 ら h(x) > 0 ゆえに、②において,g(x)>0であるから g'(x)>0 したがって, g(x)はx>0で単調増加し, limg(x)=eで x→∞ x 1 あるから g(x) すなわち 1+ <e x 加する (2)x>0 において m'(x)= = 1 x+1 1 1 1 + >O X x² 2 x2(x+1) に,極限を求める。 ) 正の実数xについて, y=(1+1/2)は単調増 y (1) e 10 19 y=(1+1)* であるからm(x) <0 0 x よって, m(x)はx>0で単調増加する。 limm(x)=lim {10g(1+1/2)-1/}= x→∞ x→∞ ゆえに、 ①を示すことができた。 したがって (1+1/2) <est 探究例題の花子さんの解答では, 与えられた不等式について, 対数をとって同値変形して から,微分を行っています。 次郎さんの解答では,g(x)の増減を調べるために,h(x) を さらに微分する必要がありましたが,花子さんの解答では,m'(x) を求めるだけでm(x) の増減が分かるため, 計算は簡単になっています。