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150 n進数の桁数
(1) 2進法で表すと10桁となるような自然数 N は何個あるか。
00000
(1) 昭和女子
(2)8進法で表すと 10桁となる自然数Nを,2進法, 16進法で表すと,それぞ
れ何桁の数になるか。
基本 146 149
指針 例えば、10進法では3桁で表される自然数 A は,100 以上1000未満の数である。
よって, 不等式 10°≦A<10° が成り立つ。
指数の底はそろえておく方が考えやすい。
法で!!
2
また, 2進法で表すと3桁で表される自然数Bは, 100 (2)
以上 1000 (2) 未満の数であり、
く10 100(2)=22,1000 (2)=23 であるから,不等式 2%≦B<23 が成り立つ。同様に考えると、
3n進法で表すとα 桁となる自然数 N について,次の不等式が成り立つ。
桁行く103
たから、
na-1≤N<na
←nsN<na+1ではない!
が成り立つ。 別解 場合の数の問題として考える。
条件から,210-1≦N<210
(1)
(2)条件から 810-1≦N<8 が成り立つ。この不等式から,指数の底が2または16
のものを導く。8=2, 16=24 に着目し,指数法則 am+"=ama", am)"a" を利用
して変形する。
解答
n進数Nの桁数の問題
CHART
まず、不等式 *
桁数 1 N n桁数の形に表す
(1) Nは2進法で表すと10桁となる自然数であるから
この不等式を満たす自然数Nの個数は
210-1210
すなわち 2°≦N <210
210−2°=2°(2-1)=2°=512(個)
別解 2進法で表すと, 10桁となる数は,
ロロ (2)
の口に0または1を入れた数であるから,この場合の
数を考えて 2°=512 (個)
210 ≦N < 210+1は誤り !
2° N20-1と考えて,
(2-1) 2°+1として
求めてもよい。
重複順列。
(2) Nは8進法で表すと10桁となる自然数であるから
8101N810 すなわち 8°N<810
①
①から (23) 9≤N<(23) 10
すなわち 227N230
(2)
228
227≦N < 228 から28桁
入力
したがって, Nを2進法で表すと, 28桁, 29 桁, 30桁
228 N <229 から 29桁
の数となる。
229N <2%から30桁
ゆえに
また②から (24) 23 N<(24)-22
8・16°≦N <4・167
16°<8・16°, 4・167 <16° であるから
16° <N < 16°
したがって, Nを16進法で表すと, 7桁, 8桁の数と
なる。
16° <N <16′から7桁
167N < 16°から8桁
