369.372の方程式では真数は正であるというのを回答に書いていないけど369.373.374では真数はせいであると書いています なぜですか違いはなんなんですか

112- -4STEP数学 371 (12)と買取を入れ替えて、をそろえる。 abc.dを満たすと (3)1.5とする対数で表し、 log 数で表し、 log4-log.0.3 logo4Toge (1)から log 4-log,3 4は1より大きいから log,03 <0<log,2<log.3 したがって Tog.0.3 ゆえに log4<log,4<log,4 (2)の変換公式から log 0.5-- logas 0.3 log: 0.5 Togas log 0.5Togasa 373 (1)数であるから よって ゆえに 整理して すなわち、 x>0 かつ+30 x>0 変形すると (x+3)=2 x+3x40 (x-1xx+4)-0 ①から、解は x=1 (2) 数は正であるから よって (x+3) 2x+30 かつ 4x+10 方程式を変形すると すなわち ゆえに log,2 整理して すなわち、 ①から、解は log (2x+3x4x+1)=log. log (2x+3.4x+1)=log. (2x+34x+1)=25 4x+7x-11=0 (x-1x4x+11)=0 x=1 (3) 真正であるから 3->0 2x+18>0 よって 9x3••• D 方程式を変形すると log, (3-x)=- log2 (2x+18) log:4 すなわち したがって Togas2 ゆえに <<< Togas 0.3 2 両辺に2を掛けて 0.5は1より小さいから logas3<logas2<0<logas 0.3 log0.5logy0.5loga 0.5 (3) 1.5mlog,4log,4=log,8 1.5 log,9¹-log,9%-log,27 9は1より大きいから すなわち ゆえに log2(x)10g (2x+18) 210g(3-x)=log(2x+18) log (3-x)=log,(2x+18) (3-x)²=2x+18 x²-8x-9=0 よって 不等式をするとか (3)10 -3x-1050 (x+2xx-5)≤0 -25155 113 であるから、 1>3 3>かつぇ0 logo-3)x log 10 () であるから 方程式を変形すると ( すなわち ( 1200 1-9. これを解いて ①のから、解は ② (3) 真正であるから 1-x>0 かつ3-0 よって<1e 1+log:3log2log3logであるから、 与えられた不等式は log2(x) (3) <log,6 2は1より大きいから (1-xx3x) <6 整理して を解いは x-4x-3<0 2-√7 <x<2+√T 2-√<x< 375 (1) 方程式の辺は正であるから、2を底上 すると よって ゆえに log,2'-log 3-1 x-(2x-1)log,3 (2log:3-1)x-log,3 20g 3-10 であるから 2-logs2 xlog,3 (2) 方程式の周辺は正であるから、とする 数をとると よって ゆえに logs5log:3+ 2x=(x+2)logs3 (2-log,3)x 2log 3 2logs30であるから すなわち (11 *()* P-1-250 -15152 -15log,152 log, slog, slog, STEP A・B、発展問題 したがって 1-1. これらは①を満たす。 数は正であるから 370 2log 3-1 不等式をすると(logylog D 方程式の周辺の3とする数をとると、 すなわち となる。 logym!とおくと よって これを解いて ゆえに (log-log~250 Togy-250 (+1-2150 すなわち 210g 3 2-log,3 3は1より大きいから 15159 の辺のとする対数をとると。 0.5. Wit 解は210g5-1 となる。 (4)数は正であるから すると 6019 0.1は1より小さいから loga (x-1)" <loga (7-x) (x-1)>7-2 376 (1)真数は正であるから x>0... ① すなわち x>0x0 logzx=t とおくと を変形すると (logsx410g+3=0 12-41+3=0 よって x²-x-6>0 (1-3)=0 整理して よって すなわち (x+2x-3)>0 =1.3 ゆえに x-2.3< 2 3 <x<7 1 すなわち logzx=1のとき o2logx150 logyaf とおくと (8-3x+5)>0 これを解いて -5.3 ゆえに +21-15>0 x=212 これらは①を満たす。 3 すなわち logzx=3のとき x=2,8 x=28 log<-5. 3<log すなわち logyx<log243. logo x1>0かつ7-x>0 1 <x<7 ...... ① よって 与えられた不等式は 41より大きいから 1.5<log,9 ゆえに log.8<log.9 整理して すなわち (+1%x-9)=0 また ①から 解は log, 25<log,27 x=-1 log, 25 <1.5 374 (1) 真数は正であるから したがって log,25 <1.5<log.9 372 (1) 対数の定義から (x+2)x+5)=10' して +7x=0 すなわち x+7)0 これを解いて x= 0.7 数の定義からー (1/3) 1 整理して これを解いて すなわち x6=0 (x+2x-3)=0 ①.②から. 解は これを解いて x=-2, 3 O 84 第5章 指数関数と対数関数 4 対数関数 1 対数関数 y=logx (a>0αキ1) 1. 定義域は正の数全体, 値域は実数全体。 0<p<glog♪ <logaq 2. >1のとき 増加関数 0<a<1 のとき 減少関数 0<p<g logap>log.g 0<a<! a>1 0 近 y-log.x 3. グラフは点 (1,0), (a, 1) を通り, y軸を漸近線としてもつ。 4. y=logx のグラフは, y=a* のグラフと, 直線 y=x に関して対称。 STEPA y=loga (2) y=5* *365 次の関数のグラフをかけ。 また,(2),(3)について (1) との位置関係をいえ (1) y=logsx (3) y=logx ✓ 366 次の関数の値域を求めよ。 ■ 次の方程式を解け。 [372,373 ] 372 (1) logio (x+2)(x+5)=1 373 (1) log2x+10g2(x+3)=2 *(3) 10gz(3-x)=1oga (2x+18) ✓ 374 次の不等式を解け。 *(1) 210go.1 (x-1) <logo.1 (7-x) 第2節 対数関数 85 O (2) log}(9+x-x)=-1 *(2) loga(2x+3)+loga (4x+1)=210g5 *(2) logia(x-3)+logi0x≦1 (3) log2(1-x)+log2(3-x) <1+10g23 例題 36 次の方程式を解け。 (1) 2-3x-1 (2) (logs.x)-log.x=0 指針 (1) 底が2と3で異なるから、 両辺の対数をとる。 (2) logsx=t とおくと, tの方程式になる。 解答 (1) 方程式の両辺は正であるから, 2を底とする対数をとると x=(x-1)log3 (1) y=logx (1≦x≦33) *(2)y=logx(x2) ■次の数の大小を不等号を用いて表せ。 [367368] よって (logz3-1)x=logz3 log:3 log3-10 であるから x=log:3-1 1-log2/ 367 (1) logz0.5, log23,1 logo.30.5, 0, logo.s2 ▽368*(1) loga8, logs 16, 2 (2) log43, log15, -2 3を底とする対数をとると (2) 真数は正であるから x>0 かつx>0 すなわち x0 ...... ① 方程式を変形すると (logsx410gxx=0 logsxt とおくと P-4t=0 よって t(t-4)=0 ゆえに t=0,4 すなわち logsx=0,4 x=1, 81 369 次の方程式、不等式を解け これらは①を満たす。 *(1) logx=-5 (2) log4x=4 (4) logs (3x-1)=2.5 *(5) loginx3 *(7) log}(x-1)>1 *(3) log(x-3)=12 (6) logas x-2 ✓ 375 次の方程式を解け。 *(1) 2=3°-1 (2)52=3+2 (8) log(1-2x)=0 STEP B 370 次の関数のグラフをかけ。 *(1) y=log2(x-2) (2)y=logx+1 (3) y=login(x) 376 次の方程式、不等式を解け。 *(1) (logsx)*-logzx +3= 0 (3) (logix)-log.x³-250 (2) (logx)-logx=0 (4) (log}x)+log/x-15 377 次のxについての不等式を解け。 ただし, は1と異なる正の定 (1) loga(x+3)<log (2x+2) (2) loga(x-3x-10)≧1 371 次の数の大小を不等号を用いて表せ。 ヒント log4, log4, log:4 (2) /loga.0.5, log20.5. log.0.5 3770<a<1の場合と>1の場合に分けて考える。 log.9, log, 25, 1.5

この方程式の答えってx^2/9-y^2/16=1にならないんですか？ 逆算して考えてx^2/36-y^2/64と同じだなと思って どうなんですかね？

(3)焦点 110.0),110,0)で A-4 A-3 漸近線が4x=34-0である双曲線の方程式 (財)条件より、求める方程式はy 1 C=10 a2 02=1とおけて 条件より、a2+&z=10² さらに、漸近線は y=土 .x 3 ②より、ど = 4 ①より、aze 16思 a 3 9 ②' 思う=100 25 a² = 100 2 a2=36 b A = q ... A a 3 a=6 ② ②より,b=8 よって、方程式は x2 1 36 y2 64 い acd b=8 02-36 3064.

このような考え方で合っていますか？？ 斜め漸近線の求め方が自信ないです🥲

No. Date y= 703 y= (22-172 y' = 2+ (143) y" 4 = +11 y= より y= ITm =c+ 76-7700 70-1 y= のグラフを書け 7-00-53 y" y-00 + 0 H TXX 0 I 1+00 0 X 20 + x+ X 0. 3.3 10 ↑+0 +00 ・縦漸近線 1 (rm 70+ K 777780 4377 ・斜め漸近線 y=z

グラフの書き方がいまいち分かりません

(101) 20 練習 次の関数のグラフをかけ。 また, 関数 y=10g3x のグラフとの位置関係をいえ。 ② 180 (1) y=10gs(x-2) 1 (2) y=log3 141**x-1< (3) y=log3 x 9 9

(2)のグラフ上の➖1がどうやって求められるかわかりません。教えてください。

る領 例題 144 三角関数のグラフ [2] 考のプロセス tan(0) 次の三角関数の周期を求め,そのグラフをかけ。 (2)y=tan ★★★★ ← y = sin0 や y = cose の周期と違う 0 (1)y=tan y = tan 0 のグラフ 周期はである。 3 [直線0=±10=± =土π, が漸近線である。 一般に0 π +nπ (n:) 段階的に考える RoAction 三角関数のグラフは, 拡大 縮小と平行移動を考えよ y = tan 0 のグラフを (1)0軸方向に したもの 周期は? 漸近線は? (2)0軸方向に したもの 0 (1)y=tan- のグラフは, y=tan0 y=1 =tan 2 02 y 例題143 Pla y=tan のグラフの 近線の方程式は == nn は整数) y = tan のグラフをy軸を基 準にして, 0軸方向に2倍に拡 大したものであ 周期はπ×2= 2π 32 π ―π Oπ 2 であるから, y=tan- のグラフの漸近線は また, 漸近線の方程式は に2倍して 軸を基準にして0軸方向 0= (2n+1) ( n は整数) よって, グラフは右の図。 | 9=2(1/2+2x)=(2x+x (2)y=tan0 tan (0- 4)のグラフは、 y=tano y=tan(0-4 小y=tand のグラフを0軸方向 ----- グラフをかくときは,ま ず漸近線の位置と0軸と の交点の座標を考えると よい。 にだけ平行移動したもので 34. 4T 34- TU π 4 71. ある。 周期は また、漸近線の方程式は 0 3 =(n+2/2)(nは整数) よって, グラフは右の図。 4 π 4 54 y = tan のグラフの π 漸近線+n を 2 0軸方向にだけ平行 移動すればよい。

(4)についてなのですが、最後にP1とQ1、P2とQ2が同じ側にあることを確認しているのですが、なぜこれが必要なのかが分かりません。教えてほしいですm(_ _)m

解 186. を実数とし,座標平面において C:4x2-y2=1, l:y=px+1 によって与えられる 双曲線Cと直線 l を考える。 C と l が異なる2つの共有点をもつとき,次の問いに答え XX [ ]の範囲を求めよ。 Cl の共有点をPi (x1, yi), P2(x2,y2) とする。 ただし, x1 <x2 であるとする。 このとき, 線分P1P2 の中点の座標を求めよ。 (3) Cの2つの漸近線との交点をQ1(x3,y3), Q2(X4, V4) とする。 ただし, x3 <x4 で あるとする。 このとき, 線分 Q1 Q2 の中点の座標を求めよ。 (4)(2)のP1, P2 および (3) の Qi, Q2に対し, PQ P2Q2 が成り立つことを示せ。 = [21 東京都立大・理,都市環境, システムデザイン 改]

問題に直角双曲線とあるのですが、これはこの問題のどこに関係しているのですか？この条件がないと解けないのですか？

92 第2章 関数の極限 Think 例題 32 分数関数のグラフと直線 **** kを0でない定数とするとき,直角双曲線 y=- x と直線y=k(x+2) との共有点の個数を調べよ. 2点で交わる 接する YA 共有点はない YA [考え方 分数関数と直線の方程式か yを消去して, xについ ての2次方程式を作る. 次に、この2次方程式の判 -2 -2 触 10 別式を調べればよい。 その際に右のようなグラフ をかいて、ある程度推定し ておくことも大切である。」 共有点2個 D>0 共有点1個 共有点0個 D=0 D<0 解答 y= y=(x+2) より,yを消去して x -=k(x+2) ① kx2+2kx-1=0 ① x を掛ける。 両辺に x ①' は x=0 を解にもたないから ①と①の解の個数は 一致する. ①'の判別式をDとすると, D0 つまり, k(k+1)>0 D=k²+k=k(k+1) 4 より,k<10k のとき, 2点で交わる。 D=0 つまり, k(k+1)=0 \に注意する。 k=0 より ①' は | 2次方程式である. YA y=k(x+2) k=0 より k=-1 のとき, 接する. よって、 共有点の個数は, D<0 つまり、 k(k+1)<0 より,-1<<0 のとき, 共有点はないに <1,0<h のとき 2個 衣 k=-1 のとき, 1個 1 << 0 のとき, 0個 +XD Focus y=k(x+2) PESHE ANC 共有点の個数は、判別式を調べよ 61222 例題 32 では、すでにk=0 という条件が与えられているので検討しなくても問題な いが,k=0が与えられていない場合は, 分数関数のグラフの漸近線と直線が一致す る場合に注意する。ここではk=0 のとき,直線y=0となり,y= のグラフの 漸近線となるから、分数関数のグラフとは交わらない x TE 練習 32 * kを定数とするとき 分数関数 y=- 有点の調 2のグラフ

赤い四角で囲った部分が分かりません。 なぜ急にyの極限を求めるのかわからないです。 また、なぜその値になるのか分からないです。 解説お願いします

例 x2-3x +3 曲線 y= x-2 の概形をかく。 y = この曲線を表す関数の定義域は, xキ2である。 (x-2)(x-1)+1 x-2 x-1+ 関数y=f(x)のグラフの概形をかくときには,次のような事柄について調べるとよい。 (1) 定義域 値域 (2) 対称性,周期性 (3)増減,極値 (4)凹凸,変曲点 (5) 座標軸との交点などの特別な点 (6)漸近線 (7)連続でない点, 微分可能でない点の様子 簡単な式に変形する! -3x+3をx-2で割った 商は x-1, 余りは1 1 x-2 ① 1 ①より y′=1- (x-2)2 (x-1)(x-3) (x-2)2 y" -2 = 2 であるから,増減,凹凸の表をつくると、次のようになる。 (x-2)3 (x-2)3 X 1 v' + 0 2 3 ... - 0 + " - - + + + Km-(x-1)= X-2 lmをとっても「」の関係は変わら y と形で y -1 2 4 3. また,① より lim{y-(x-1)}= lim x→∞ X-80 X 3 y=x-1 lim{y-(x-1)}= lim 1 x2 であるから,直線 y=x-1 はこの曲線の漸近線 x2-3x+3 y= x-2 x2+0 直線x=2 もこの曲線の漸近線である。 である。 さらに, lim y=8, lim y=-∞ であるから, O 1 123 x x-2-0 以上より, 曲線の概形は右の図のようになる。 関数 f(x) が連続な第2次導関数をもつとき f'(a) = 0, f'(a) > 0 ならば, f(α) は極小値 f'(a) = 0, f" (a) < 0 ならば, f (a) は極大値 例 第2次導関数を利用して, 関数 f(x) = (x²-2x)ex の極値を求める。 f'(x) = (2x-2)ex+(x²-2x)ex = (x-2)ex f'(x) = 2xex+(x-2)ex= (x2+2x-2)ex であるから、f'(x) = 0 となるのは,x2=0のときである。 よって ここで であるから 極大値は 極小値は x=-√2-√2 f"(-√2)=2√/2e0f"(√2)=2√20 f(-√√2) = (2+2√2) e-s -√2 f(√2)=(2-2√2evz

増減表まではわかったのですが、赤い四角で囲った部分は、なぜ、＝0になると漸近線であると言えるのか分かりません。そもそも、なぜ両式の極限をとるのですか？？ 解説お願いします

・関数 y=f(x) のグラフの概形をかくときには,次のような事柄について調べるとよい。 . (1)定義域・値域 (2)対称性,周期性 (5) 座標軸との交点などの特別な点 (3)増減,極値 (4) 凹凸,変曲点 (6) 漸近線 (7)連続でない点、微分可能でない点の様子 x2-3x +3 |例 曲線 y= の概形をかく。 x-2 この曲線を表す関数の定義域は, xキ 2 である。 ・簡単な式に変形する!!御分 x2-3x+3をx-2で割った (x-2)(x-1)+1 1 商はx-1, 余りは1 y = = x-1+ x-2_ x-2 1 ①より y′=1- (x-2)2 (x-1)(x-3) (x-2)2 y" -2 2 (x-2)3 (x-2)3 3章 微分の応用 であるから,増減,凹凸の表をつくると、次のようになる。 XC 1 ... 2 ... 3 y' + 20 - 0 + <-(x-1)= V" - - + + + y -1 と変形できる 2-2 y 3 また,① より lim{y-(x-1)} = lim 1 =0 x→∞ x→∞ x2 s 3 y=x-1 lim{y-(x-1)} = lim_ 1 = 0 x→∞ x→∞ x-2 _x2-3x+3 であるから,直線 y=x-1 はこの曲線の漸近線 y= x-2 である。 1 123 x さらに, limy = ∞, lim_y = -8 であるから, x-2+0 x-2-01 直線x=2 もこの曲線の漸近線である。 以上より, 曲線の概形は右の図のようになる。 ・関数 f(x) が連続な第2次導関数をもつとき f'(a) = 0, f'(a) > 0 ならば, f (α) は極小値 f'(a) = 0, f'(a) < 0 ならば, f (α) は極大値 例第2次導関数を利用して, 関数 f(x) = (x²-2x)e* の極値を求める。 f'(x) = (2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x-2)e* f'(x) = 2xe*+(x2-2)ex = (x+2x-2)ex であるから、f'(x)=0 となるのは, x2=0のときである。 よって ここで であるから x=√2-√2 f"(-√2)=2√2-2<0, f'(√2)=2√2e > 0 極大値は f(-√2) = (2+2√2) e-v2 極小値は f(√2)=(2-2√2) ev 1節・接線, 関数の増減 49

なんで急に赤い四角のが出てきたのか分かりません。 解説お願いします なぜカッコの中がその値になるのかを知りたいです ちなみに、問題は2枚目にあります

4315 3 πT √3 2 0 ππ 3 2 23 π πC 204 (1) この曲線を表す関数の定義域は, x=0である。 y = -1 X 1 =x-- x ... ① x であるか と, x y' y 次の + ①より 1 y = 1+2, y" = _2 x3 であるから,増減,凹凸の表をつくる と、次のようになる。生息する v' a a また,① lim{y x→∞ lim { 811X であるから 線の漸近線 lim y X ... 0 + (xml+x y " また ① より x→∞ ++ = 0 x→∞ x lim(y-x) = lim( lim (y-x) = lim 2(-1/2)=0 x→1+0° であるから 直線 x = 1 もこの曲線 の漸近線で ある。 以上より, 曲線の概形 は右の図の 3418 X118 x であるから、直線 y=xはこの曲線 の漸近線である。さらに ようになる。 limy =-∞, lim y = ∞ x+0* x-0 であるから,y軸もこの曲線の漸近線 である。 以上より,曲線 の概形は右の図 のようになる。 また,この曲線 原点に関して y y=x/ 206 y': =12x x2-1 y= Xx -1 対称である。 10/1 (2)この曲線を表す関数の定義域は, x=1である。 y = (x-1)(x+1)+4 x-1 4 ...O 2次方程式 6x2 D = a² - (i) D≦ 0, する すべての実数 (ii) D> 0, すな 6x2 + ax +2= とすると 6(6 y" = 36a