解 186. を実数とし,座標平面において C:4x2-y2=1, l:y=px+1 によって与えられる 双曲線Cと直線 l を考える。 C と l が異なる2つの共有点をもつとき,次の問いに答え XX [ ]の範囲を求めよ。 Cl の共有点をPi (x1, yi), P2(x2,y2) とする。 ただし, x1 <x2 であるとする。 このとき, 線分P1P2 の中点の座標を求めよ。 (3) Cの2つの漸近線との交点をQ1(x3,y3), Q2(X4, V4) とする。 ただし, x3 <x4 で あるとする。 このとき, 線分 Q1 Q2 の中点の座標を求めよ。 (4)(2)のP1, P2 および (3) の Qi, Q2に対し, PQ P2Q2 が成り立つことを示せ。 = [21 東京都立大・理,都市環境, システムデザイン 改]

(1) Clが異なる2つの共有点をもつための条件は, なる2つの実数解をもつことである。 4x2-(px+1)2=1 すなわち (p-4)x2+2px+2=0 ①が異 ←C 去 るから ①の判別式をDとすると D0 であるから 4 -p²+8>0 D = p² — (p² —4) • 2 = − p²+8 2√2 << 2√2 ③ 方程式 ①が異なる2つの実数解をもつとき,①は2次方程式であ すなわち p±2 p²-40 ← これを解くと ②③の共通範囲を求めて -2√2 <p<-2, -2<p<2,2<p<2√2 (2)x1,x2 は ①の異なる実数解であるから,解と係数の関係により x1+x2 2 p2-4 また, P1, P2 はℓ上の点であるから yity=p: x+x2+ +1=- 4 +1 2 2 2-4 p2-4 よって、線分 P.P〟の中点の座標は プー p 1 解くと x=- p±2 x+x4 よって = 2 (3) Cの漸近線の方程式は 2x±y = 0 すなわち y = ±2x であるか ら,それぞれの漸近線と l との交点のx座標は,±2x = px+1 を + 1/(-12)+(-12)=ポー p+2. y3ty4 =p·· x3+x4+1= p² +1 2 2 p2-4 p2-4 よって、線分 Q.Q2の中点の座標は(プー (4)(2),(3)により, 線分 PiP2, Q1Q2の中点 -4 y は一致する。 この点をMとすると Q2P P2 M PiM=P2M, QiM = Q2M P1, P2, Q1, Q2, M はすべて l上にあり、 X1X2, X3 X4 より x1 <- - <X2, P p²-4 x- -<x4 であるから,P1 と Q1, p²-4 P2 と Q2 は Mに関して同じ側にある。 よって P1 P,Q=|P,M-Q,M|=|P2M-Q2M1=P2Q2