(1) 関数 y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の
を定めよ。 また、このとき最小値を求めよ。
(2) 関数 y=x2-2ax+α-2a (0≦x≦2)の最小値が11になるような止の定数
基本 80 82 重要 86
の値を求めよ。
指針 関数を基本形y=a(x-p)'+gに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め,
(2) では, 軸 x=α (a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。
(1) (最大値)=4(2)(最小値) = 11 とおいた方程式を解く。
CHART 2次関数の最大・最小グラフの頂点と端をチェック
解答
(1) y=-2x2+8x+k を変形すると
y=-2(x-2)^+k+8
YA
最大
k+8---
よって, 1≦x≦4においては,
11
右の図から, x=2で最大値+8
0 1 2
をとる。
ゆえに
k+8=4
よって
k=-4
A
区間の中央の値は
で
あるから,軸 x=2は区
4 間 1≦x≦4で中央より
左にある。
最小
最大値を4とおいて、
んの方程式を解く。
このとき,x=4で最小値-4 をとる。
(2) y=x2-2ax+α2-2a を変形すると
y=(x-a)2-2a
[1] y
|軸
[1] 0<a≦2のとき, x=αで
最小値 2αをとる。
実に 11
2a=11 とすると a=-
2
a
2
x
これは0<a≦2を満たさない。
-2a
← 最小
[2] 2<αのとき, x=2で
最小値 22-2α・2+α-2a,
つまり2-6a+4をとる。[2]
-6a+4
α2-6a+4=11 とすると
最小
a2-6a-7=0
a
これを解くと
a=-1,7
02
x
2 <α を満たすものは
a=7
以上から、 求めるαの値は α=7
-2a
● 「αは正」 に注意。
0<a≦2のとき,
軸x=αは区間の内。
→頂点x=αで最小。
の確認を忘れずに。
2 <αのとき,
軸x=αは区間の右外。
→区間の右端x=2で
小
(a+1) (a-7)=0
の確認を忘れずに
