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場
D
207 同じものを含む円順列・ じゅず順列 80★★★☆
赤球1個, 白球2個, 青球4個の計7個の球がある。
(1) これらの球を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)これらの球にひもを通して首飾りを作る方法は何通りあるか。
同じ色の球を含むから,単純に (7-1)! とはできない。
(1) ReAction 回転して同じ並び方が含まれるときは, 1つを固定して考えよ 例題189
赤球1個,白球2個,青球4個のうち、どの球を固定するとよいか?
(2)首飾り裏返して同じになるものが含まれる。(じゅず順列)
今のプロセス
(1)の場合の数
単純に
としてはいけない。
2
場合に分ける
左右対称である
(1) 7個の球を
円形に並べる
左右対称でない
(1)の中に裏返して
同じものは含まれない。
(1)の中に裏返して
同じものが含まれる。
Action » 同じものを含むじゅず順列は,左右対称と非対称に分けよ
(17個の球を円形に並べる総数は,1個の赤球を固定し
て考えると、白球2個, 青球4個を1列に並べる順列の
1個しかない赤球を固定 6
することで,回転して同
じものがなくなる。
章 15 順列と組合せ
総数と一致するから
6!
2!4!
=
=15(通り)
(C)
(2)(1) の順列のうち, 左右対称であるものは、白球1個,
青球2個を1列に並べる順列の総数と一致するから
左右対称で
あるものは,
赤球を通る
3!
=3(通り)
2!
?!
対称軸の右
よって、 左右対称でないものは 15-312(通り)
このうち, 首飾りを作ったとき, 裏返して同じものが
2つずつあるから,首飾りの数は 12÷2=6(通り)
したがって,求める首飾りの総数は
半分 (左半分)の並べ方を
考えればよい。
例えば
赤
3+6=9 (通り)
Point.. 同じものを含むじゅず順列を求める手順
① 円順列の総数を求める。 1個だけの球などを固定して考える。
② ①のうち,左右対称となる円順列の数を求める。
は裏返すと同じもの。
③ 左右対称でない円順列の数(①の個数) (②の個数)を求め, 2で割る。
④ 求めるじゅず順列の数は、②の個数)+(③の個数)である。
207 赤球1個, 白球4個, 青球6個の計11個の球がある。
(1)これらの球を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)これらの球にひもを通して首飾りを作る方法は何通りあるか。
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