(1)、合ってると思いますよ。
強いて言うならD/4を使った方が早いでしょうね。
y=x²-2x+m-1
(1)
グラフがx軸と異なる2点で交わる
⇔式が異なる2つの実数解をもつ
⇔判別式D>0
よって、x²-2x+m-1についての判別式をDとすると
D/4=(-1)²-1･(m-1)
=1-m+1
=2-m･･･(＊)
これがD>0なので、
2-m>0
m<2･･･(答)

(2)と(3)も同様です。
(2)
グラフがx軸と共有点をもたない
⇔式が実数解を持たない（異なる2つの虚数解を持つ）
⇔判別式D<0
(＊)より、
2-m<0
m>2･･･(答)

(3)
グラフがx軸と共有点をもつ
⇔グラフとx軸との共有点が1個か2個
⇔式の実数解が1個（重解）または2個（異なる2つの実数解）
⇔式の判別式DがD=0またはD>0
⇔D≧0
(＊)より、
2-m≧0
m≦2･･･(答)

でどうでしょうか。
ポイントとしては、

①グラフとx軸の共有点の数⇔式の解の数（その共有点のx座標が解の値）
②解の個数⇔判別式の関係
2個⇔D>0
1個⇔D=0
0個⇔D<0

※判別式は、解の公式のルートの中身の部分ですね。
つまり、そこが正ならば解は解の公式におけるプラスとマイナスの2通り。
そこが0ならばプラスマイナスがなく、解は1通り。
そこが負ならば解の公式は虚数を含む（ルートの中身がマイナスなので値が実数で存在しない）から、解はない。
ということになります。参考までに。

多分これで大丈夫だと思います！

簡単にまとめてみました
わからなければ言ってください！