^は何乗を表します。
2sinxcosx＝sin(x+x)ですので
両辺を二乗して
4sin^2xcos^2x＝ sin^2(2x)
k＝2sin^2xcos^2xより
k＝ sin^2(2x)/2・・・ア＝2

sin^2(2x)＝2k
sin2xの定義域は−1≦ sin2x≦1
つまり sin2x<−1または sin2x>1の範囲のとき0個・・エ
sin^2(2x)＝2k>1すなわちk>1/2・・・イウ

0<x<π/2の範囲でsin(2x)は
0<x<π/4のとき増加してπ／4<x<π／2のとき減少する。
x=0のとき、sin(2x)=sin(2×0)=sin(0)=0
x=π/4のときsin(2x)=sin(2π/4)=sin(π/2)=1
x=π/2のとき sin(2x)=sin(2π/2)=sin(π)=0

0<sin(2x)=2k<1つまり

0<k<1/2のとき
sin^2(2x)=2k
sin(2x)=√(2k)
を満たす解は2個・・・オ

カは言わずもがな1個