[6] 実 (35点) さいころを n回投げて出た目を順にX1,X2, ..., Xn とする.さらに 1 (k=2,....n 1)(i) Y" を定める(10) (0) () Y =X, Y=X+ Yk-1 によってY1, Y2, ..., 6 1 + √3 n ≤Y, ≤1+√3 2 n となる確率を求めよ.

0 || 1+√3 2 B = 2x = 1 +√3 とおくと,(≧。 1 < a <2 <ẞ <3 -- (1<√√3<2) 1 = √√3-1 = B−23B=2+12=22 a √3-1 2 = a α=1+ 1/(1)+1= - 201

である.また,Xk = 1, 2,..., 6だから, 帰納的にすべてのkについてYk≧で ある. さいころをn + 1回投げたときに, AN a ≦ In+1 = Xn+1 + ≤ B Yn であるならば、これと0< ≦1により Yn JA= 0 <α-1≦Xn+1 < β < 3 (i) Xn+1=1のとき, だから, Xn+1=1または2でなければならない。入(株 Yn+1=1+ ≦2<B Yn が成り立っているので,①が成り立つのは 1 α=1+ ≦1+ B 1 . Yn ≤ B Yn のときである. (ii) Xn+1=2のとき α < 2 < In+1 = 2 + 1 AN Yn が成り立っているので,①が成り立つのは P02+ +1/B=2+1/ のときである. Yn 以上から、 ①が起こる確率について Pn+1=P(Yn≦B)P(Xn+1 = 1) + P(a ≦ In) P (Xn+1 = 2) =1/{P(Y,≦B)+P(a≦Y,)} = 1 ½ { P(Yn < α) + 2P (a ≤ Yn ≤ ß) + P(ß < Yn)} =/{P(a≦1,=B)+1}=1/1/ Pn + 1½ 6 > 5 Pat1-1/2=1/2(pn-1/3) 6 また,α ≦ Y = X1 ≦ βが成り立つのは XL=2のときだけで,P1= =1/2だから Pn = P1 =1/2+(2)(p1-1/2)=1/2(1-1/21) 000