第3問(配点 20 ) とその外部にある点Pに対して、次の手順で作図を行う。 BP AC このとき, 直線 PH, PGは円 0の接線である。このことは, 直線 EF と線分AB の交点をⅠ, 直線 EF と直線 CD の交点をJとして,次のように説明できる。 1. 数学A ア × BI (1) PA CE AC T × IA × CE イ BP BI であるから, = である。 PA IA 手順 Step1) Pを通り, 円0と異なる2点で交わり, 中心を通らない直線を 引く。円とこの直線との交点をPに近い方から順に A,Bとする。 (Step2) P を通り、円0と異なる2点で交わり, 中心を通らない直線 で,直線AB と異なる直線を引く。 円0とこの直線との交点をPに近 い方から順に C, D とする。ここで, A を濁点とする半直線 AC と, B を端点とする半直線 BD が交わるものとして, その交点をEとする。 (Step3) 線分AD と線分BCの交点をFとする。 (Step4) 円 0 と直線 EF との交点をEに近い方から順にG,Hとする。 0 EJ ED DB ED DB H B •0 F 参考図 (数学Ⅰ 数学A 第3問は次ページに続く。) イ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ① EF ①⑤ ②EI 3 ED 5 CB 6 ④ EB FB DB (数学Ⅰ 数学 A.第3問は次ページに続く。) (1

PP (2)円の半径を とする。 点Iを通 り直線 OP に垂直な直線を引き, 直線 OPとの交点をKとする。 また, 点0 を通り直線ABに垂直な直線を引き, 直線AB との交点をLとする。 P- PA AB (i) PIK と △POLが相似であることに注意すると I PO x PK =PLx ウ k が成り立つ。 PI 1/2AB t PD:/PI= Pt=pk また,点Lは線分ABの中点となるから,PL= (1) により, IA = オ であるから PL × ウ = カ が成り立つ。 このとき,方べきの定理により KO ...... エ である。さらに P1 カ =PO2-r2 .....③ が成り立つ。 PA+ AL よって, ① ② ③により, PK = PO- = PA + A 7.2 PO 2 であるから, KO = PC が成り立つ。 2PA+AB 同様に考えると,点Jを通り直線OP に垂直な直線を引いたとき, 直 2PA+ OPとの交点は キ ことがわかる。 PA+(PA+AB1 (数学Ⅰ 数学A 第3問は次ページに続く 2 PA+AL PA+AB 2 2PA+AB 2 PA・PB PA+PB 20 2 PB PA BI IA IA=BI BP PA 3-1 -24

PL PA+AL AB =PA+ 2 2PA+AB = 2 PA+ (PA+AB) PA+PB 2 = (①) + 2 である。さらに(*)より,点Iは線分ABを PA: PB に内分するから PA IA= × AB PA+PB = (⑥) PA (PB-PA) PA+PB である。 よって PI=PA+IA =PA+ PA (PB-PA) PA+PB PB-PA = =PA(1+ PA+PB PAX 2PB PA+PB PA+PB PAX2PB .. PLXPI= X 2 PA+PB =PAXPB (2) ②