★★ 3 【12分】 11/29 整式P (2) は、次の条件(i)(ii)を満たしている。 (i) P(x)を2で割ったときの余りは5である。 (P(x)(3)" で割ったときの商はQ(x), 余りは42-9 である。 (1) 条件(i) (注)より P(2) = ア P(3) = であるから,P(x) を (-2) (z-3)で割ったときの余りは ウエ x+ オ である。 式い いろいろな 3 P2 P2 P3= (2) P(x) を (x-3)(x-2) で割ったときの余りを a+bx+c とおくと, 条件(i)よ P Pa a+ キ b+c= ク 条件()より ケ a+b= コ サ a-c= が成り立つことから a= ス b= センタ c=チッ である。 (3)条件(ii)においてQ(x)=x-3+8 とする。 このとき Q(x)=(x-2)(x- テ + ト と変形できるので,P(x) を (x-3)(x-1) で割ったときの余りは である。 ナ ニヌネノ Pe

P()=(2-3) Q(土)+4g-9 が成り立つので P(3)=3 P() を (x-2) (æ-3)で割ったときの商をQ(x), 余りを とおくと P(x)=(x-2) (x-3)Qr()+x+b ① ③より 120+b=5 解説33 1301+b=3 . Q1=-2,b=9 よって、余りは29 (2) とおけるので、 ①より P(x)=(x-3)(x-2)Q2(z)+ax²+bx+c 4a+26+c=5 また と変形できるので ar2+bx+c=a(x-3)2+(6a+b)z-9a+c ★商をQコ(エ) とおく。 P()=(x-3)^{(x-2) Q2(x)+α)+(6a+b)x-9a+c よって、条件(i)より f6a+b=4 -9a+c=-9 [6a+b=4 9a-c=9 ax2+bx+c を (x-3)で 割って余りを求める。 a 22-6x+9) ax + bx + c x²-6ax+9a a=6,b=-32,c=45 ④ ⑤より (3) Q(x) = x²-3x+8 =(x-2) (z-1)+6 と変形できるので,②より P()=(x-3)2 ((x-2)(x-1)+6)+4z-9 =(x-3)(x-2)(x-1)+6(x-3)+43-9 =(x-3)(x-1)(x-2)+6-32g+45 よって, P(z) を (x-3)(x-1) で割ったときの商は-2、 余りは6-32+45 である。 4 (1Xi) z'+4z'+16=(z+4)-(2z) =(x²-2x+4)(x²+2x+4) より p=4,g=2 であり,解は _z=1±√3i, -1±√3i (+4t+16=0 より t=-2±2/3i (6a+b)x-9a+c 解 説 解説