52.a を実数の定数とする. 関数f(x)=x-ax+a+2がa≦x≦a+1の範囲で つねに不等式 f(x)>0をみたすようなαの値の範囲を求めよ.

f(x)=x-ax+a+2 -(x-2)-(a²-4a-8) = y=f(x)の軸x=/12/2 とa≦x≦a+1の位置関 係で場合分けする. (i) 11 <aすなわちa>0のとき 求める条件は, f(a)>0 であるから, a+2 0 \y=f(x) つまり, a a+1 a>-2 α>0のときこれは常に満たす。 (ii) asa Sa+1 すなわち−2≦a≦0のと 2 き \y=f(x) 求める条件は, ƒ(2)>0 であるから, I I I I I a a a+1 2 -(a²-4a-8)>0 つまり, 2-2√3 <a<2+2√3 このうち−2≦a≦0 を満たす範囲は, 2-2√3<a≤0 () > α+1 すなわ ちα <-2のとき 求める条件は, f(a+1)>0 T a a+1 a y=f(x)/ であるから, つまり、 (a+1)2-a (a+1)+α+2 > 0 a 3 2 2 a<-2のときこれを満たすことはない. 以上, (i)(ii)より, a>2-2√3