□ 16 ✓ 17 等式 (1+x)"(x+1)"=(1+x) 2n を用いて,次の等式を証明せよ。 nCo2+nCi2+....+nCn2=2nCn e-C (k=1.2........n) が成り立つことを証明せよ。 (1) 2,

16 = ■指針 11=(10+1)とみて、 二項定理を利用する。 100a + b (a,b は整数, すと,100 で割った余りはbである。 11"=(10+1)11 よって、その係数は 100) の形で表 81 (4)項は 510! よって、 その係数は Co-10+C-1010-1+11-10-12 + ......11C 102.1 + 11 Cio ・10・10+ 2C・1日 =102Co-10°C10°+2・107 + ...... +11 Cg) + 110 +1 =10% Co.10°+C10°+1 C2107 + ...... +11C+1) +11 20 (1) 展開式の一般項 4! p!q!r! (3)(x)-2 ただし p+gtr=4 11 Co. 10°+1C10°+11C2・107 + + 11 Cg + 1 は整数であるから, 求める余りは xの項は2p+9=5の るから p=0. 11 an 17 (1+x)"(x+1)" よって、2p+g=5と ない整数 p,g,rの組 (p,g,r) = (1, =(nCo+mCix+. 12 +nCmxn) したがって, 求める係 4! 0 -x)n nC =nn- x("Cox"+mCxn-1+... +C) ="Con Cox" + C₁x"−1+ n n-1 +C) ....... +„C₁x(„Cox” + „C₁x"¯¹ + ··· + C) + n n N +....+nCmx" ("Cox"+"x"-1+......+"C") (1+x)"(x+1)" の展開式において,x” の項の係 数は "Co2 +12 +... + Ch 2 また (1+x) 2" の展開式の一般項は 2n Cn よって, x” の項の係数は 用いて 1)11 両辺のx”の項の係数は等しいから [2n Crxr (n-1)! (k-1)!{(n-1)-(k-1)}! 1!3!0! -(-1)³.20+2 (2) 展開式の一般項は 10! p!q!r! ·1%(2x)(-x ただし p+q+r=1 xの項は q+2r=3の。 るから r=0, 1 よって, q+2r=3とな ない整数 P, 4, rの組 (p,g,r) = (7, したがって, 求める係 10! 7!3!0! -.2%(-1)+g n Co2 + "C2+....+C2=2C -1)"=(1 5.4.ふつい 2.3.2 (2 18 (1) nn-1C-1=n.. =k·· n.(n-1)! k.(k-1)!(n-k)! 21 (1) x+5 =k. n! k!(n-k)! =knCk x+2x2+7x x2+2x 1657 (2) (1) で示した等式を利用すると nC1+2mC2+3C3 ++nnCn =nn_iCo+nn-1C1+nn-1C2+.. =m(μ-1Co+-1C1+n-1C2++n-1Cm_1) 5x 5.x +nn-1 Cn−1 よって 商x+5, 余