5. (選択) 1000以下の自然数のうち, 8でわると3余る数の集合をAとし, でわると4余る数の集合をBとします。 このとき, 次の問いに答 えなさい。 (1) 集合Aの要素の個数を求めなさい。 (2) 集合Bの要素の個数を求めなさい。 (3)集合A∩Bの要素の個数を求めなさい。

問題5.〈数列, 集合 (等差数列, 不定方程式の整数解 ) > (1) 集合 A の要素は,8でわると3余る自然数だから, 8+3は0以上の整数) と表され, 1000以下だから, 997 8n + 3 ≦1000 n≤ = 124.6... 8 したがって, 0≤n≤124 であり, n は整数より, 集合Aの要素の個数は125個である。 (2) 集合B の要素は, 9でわると4余る自然数だから, 9m+4(mは0以上の整数) と表される。 よって,

9m+4≦1000 996 ms. = 110.6... 9 したがって, 0≧m≦110 であり,m は整数より、集合Bの要素の個数は 111 個である。 (3)集合A∩Bの要素は, 8でわると3余りでわると4余る数である。 この数をんとおくと,に5を加えればでも9でもわりきれる。 し たがって, k +5は, 8と9の最小公倍数である72の倍数である。よって、 k+5=72j(j は自然数) なぜse と表されるので, k=72j-5 となり,これが1000以下の自然数であることより, 1005 72j-5≦1000 js -= 13.9··· 72 したがって, 1≦j≦13 であり, jは自然数より, 集合ANBの要素の個数は13個である。