「の」をつけて名詞化する場合、動詞は連体形を使うという文法ルールがあります。

だから、元気に冬の街を 散歩するのが大好き
の「散歩する」は、後ろの「の」を修飾しているため、連体形 になっているのです。

古典文法では「の」は名詞であり、それを修飾する語はすべて連体形でなければならない、という決まりがあります。現代語でもその名残が続いています。

まとめ
「散歩する」が連体形なのは、後ろにある名詞「の」を修飾しているから。「散歩するの（ということ）」という名詞的なかたまりを作っているのです。