32 【3】 関数f(x)=x-4x + 10 に対し, 放物線C:y=f(x)の頂点の座標を (a, b) とす る。次の問いに答えよ. ただし, (1) は結果のみを記入し,(2),(3)は結果のみではなく、 考え方の筋道も記せ. (1)(i) a bの値をそれぞれ求めよ. (i)-1≦x≦3におけるf (x) の最大値と最小値をそれぞれ求めよ. (2) tを実数の定数とする. 頂点の座標が (a+t, b-t°) となるようにCを平行移動してできる放物線を K とし,Kの方程式をy=g(x) とする. (i) Kがx軸の負の部分と接するとき, tの値を求めよ. (Kが第3象限と第4象限の両方を通るとき, tのとり得る値の範囲を求めよ. (Ⅲ)Kが第3象限を通り, かつ第4象限を通らないとき,tのとり得る値の範囲を 求めよ. なお,「象限」とは座標軸によって区切られた座標平面の4つの部分 (座標軸は 含まない)のことであり, 第1~第4象限の位置は下図の通りである. y ↑ 第2象限 第1象限 ○ x 第3象限 第4象限 (3)(2)のg(x)において 0≦t≦3 とする. また,xが3t≦x≦12-tの範囲を動くときのg(x)の最小値をm(t) とする. (i) (t)をt を用いて表せ. (i) t0≦≦3の範囲を動くときのm (t) のとり得る値の範囲を求めよ. 考え方 (1)(i) f(x) を (x-p)2 +gの形に整理します . (ii) Cのグラフをかいて, -1≦x≦3 の部分を調べます. (2)(i) 頂点がx軸の負の部分にある, と言い換えられます. () 第3象限と第4象限の境で, 放物線Kはy軸の負の部分を通過することに注目します。 () K のグラフをかき, (i), (ii) を参考にしてグラフに関する条件を考えます. (3)(i) y=g(x) のグラフをかき,その軸と定義域 3t≦x≦12-tの位置関係を調べます。 (i)(i)で求めたm(t)はtの関数であり, グラフをかいて調べられます。 【解答】 (i) a=2, b=6 (ii) 最大値 15, 最小値 6 【(1)の解説】 (50点) (1)(i) f(x) = x2 - 4x +10 = (x-2)2 + 6 であるから,放物線 C:y=f(x)の頂点の座標は (26) である.すなわち a=2, b=6 て である. カ ■y=x2+ +px+gは y = (x + 2)² - ²+a y= と変形できる (平方完成)

放物線Cの概形は下図の実線部分である. -1 2 3 y=f(x) ◆放物線Cの軸x=2は区間 -1≦x≦3に含まれるので,f(x) はx=2で最小になる.また, 直線x = 3よりも直線 x = -1 の方が軸から遠くにあるので f(x)はx=-1で最大になる. よって, 最大値はf(-1)=(-1)^-4(−1) + 10 = 15 最小値はf(2) = 6 である. 【(2)(3)の解答】 ◆最小値は, 頂点のy座標である. (2)KはCを平行移動してできる放物線であり,その頂点は(a+t, b-t2), つまり (2+t, 6-12) である.xの係数は1であるから, である. g(x)={x-(2+t)}2+6-12 =x2-2(2+t)x + 4t + 10 (i) Kがx軸の負の部分と接するための条件は [6-t²=0 ◆平行移動でx2の係数は変わら ない. [2+t<0 すなわち, t2=6かつt <-2であるから, 求める の値は t=-√6 K ◆Kの頂点について 「 ( y 座標) = 0 N | (x座標) < 0 2+t 0x (答) (i)Kが第3象限と第4象限の両方を通るための条件は g(0)<0 すなわち 4t + 10 < 0 である. よって, 求める tの値の範囲は 5 t<- 2 y ^ ◆(y切片)<0 ( (注) 1°) K 0 x (答) 4t+ 10 () K が第3象限を通り第4象限を通らないための条件は [2+t < 0 6-t2<0 4t + 10≧0 である. ①③ より 1/2st<-2, また②は t°>6⇔t <-√6√6 <t である. ......① y A ......2 K ③ • 4t + 10 2+t 0x 6-t2 5 -√6 -2 √6 t よって、求めるもの値の範囲は -≤t<-√6 ◆Kの頂点 (u, v) と y切片につ いて [u < 0 30<0 l (y切片) ≧0 2√6号に注意する。