いわゆる解の配置問題ですね。
x^2-(m-4)x+m-1=f(x)とします。
(1)f(x)=0が異なる2つの正の解をもつ。
先ず異なる2実解を持つ条件より、
f(x)=0の判別式D>0
⇔(m-4)^2-4・1・(m-1)>0
⇔(m-10)(m-2)>0⇔m<2∨m>10…①
2解が共に正であるには、f(0)>0である必要があります。f(0)<0だと正と負の解を持つのはグラフの形から明らかです。また、①かつf(0)>0だけだと負の2解の場合も考えられます。ゆえ軸>0が必要です。
よって(1)の条件は、
①∧f(0)>0∧(軸x=(m-4)/2>0)
⇔(m<2∨m>10)∧(m>1)∧(m>4)
⇔m>10…(答)
(2)正の解と負の解
これはすごく簡単な条件で表せます。
それはf(0)<0です。
放物線があって、f(0)<0だと確実に正の方で1つ、負の方で1つの共有点を持ちますよね。(グラフで考える)
よってf(0)<0⇔m-1<0⇔m<1…(答)