を式に表す。 このとき,次の性質を利用する。 ただし, a, b, m は整数である。 消去し, nの代わりにん, に関する条件を考える。 の倍数→n+7=51 (k, lは自然数) a,bは互いに素で,amが6の倍数であるならば,はもの倍数である。 (2)自然数nに対して, nとn+1の最大公約数をgとすると nと n+1が互いに素⇔nとn+1の最大公約数は1 この2式からnを消去して, g=1 を導き出す。 n=gk, n+1=gl (k, lは互いに素) 解答 (1)は自然数であるから,条件より 解答(1) n+5=7k,n+7=51 (k, lは自然数) と表される。 (-) この2式からn を消去すると したがって 7k-5=51-7 すなわち 7k+7=51+5 7(k+1)=5(+1) 5と7は互いに素であるから, k+1は5の倍数, k+1=5m (m は整数) と表される。 このとき n+12=7k+7=7(k+1) =7.5m=35m よって, n +12 は35の倍数である。 白まし 連続する2つの自然数n と n+1の 7x=5× △ の形をに らんで変形する。 +1は7の倍数である から、1+1=7m^m^ は 整数)としてもよい。 このとき n+12=5/+5=5.7m'

式に表す。 このとき,次の性質を利用する。 ただし, a, b, m は整数である。 消去し, nの代わりにん, に関する条件を考える。 の倍数→n+751 (k, lは自然数) a,bは互いに素で,amが6の倍数であるならば,mはもの倍数である。 (2)自然数nに対して, nとn+1の最大公約数をgとすると nと n+1が互いに素⇔n と n+1の最大公約数は1 この2式からnを消去して, g=1を導き出す。 n=gk, n+1=gl (k, lは互いに素) 解答(1)は自然数であるから,条件より n+5=7k,n+7=51 (k, lは自然数) と表される。 この2式からn を消去すると したがって 7k-5=51-7 すなわち 7k+7=5l+5 7(k+1)=5(Z+1) 5と7は互いに素であるから, k+1は5の倍数で, このとき k+1=5m (m は整数) と表される。 よって,n+12は35の倍数である。 n+12=7k+7=7(k+1) =7.5m=35m 白まし】 連続する2つの自然数nとn+1の 7X=5×△ の形をに らんで変形する。 +1は7の倍数である から、1+1=7m^(m^ は 整数)としてもよい。 このとき n+12=5/+5=5.7m^

例題 80 | 互いに素に関する証明問題 (1) (1) nは自然数とする。 n+5 が7の倍数であり,n+7が5の倍数であるとき, n+12 は 35の倍数であることを証明せよ。 (2) 連続する2つの自然数は互いに素であることを証明せよ。 (例題78 指針 (1) 文字nだけで証明することは難しいので, n以外の別の文字を用いて条件を式に表す。 n+5 が7の倍数→ n+5=7k,n+7が5の倍数 → n+7=51 は自然数 この2つの式からnを消去し,n の代わりに k, lに関する条件を考える。 このとき,次の性質を利用する。 ただし, a, b, m は整数である。 a,bは互いに素で, am がもの倍数であるならば、mはもの倍数である。 (2)自然数nに対して, 八粉を とすると nと n+1が互いに素 nn+1の最大公約数は1 n=gk, n+1=gl (k, 1は互いに素)