がよい。 (B) から b, c, 次に, る方針で進める。 解答 (B) の前半の条件から,b=24b', c=24c′ と表される。 ただし, b','は互いに素な自然数で 6'<c' ····· ① (B)の後半の条件から 246′'c'=144 すなわち 6'c'=6 ①BL ◄ gb'c'=1 これと①を満たす b', c'′ の組は (b', c')=(1, 6), (2, 3) よって (b, c)=(24, 144), (48, 72) 6=246′,c=24c′ (A) から, αは2と3を素因数にもつ。 また,(C)において 240=24・3・5 (VIE) (ef 1)- 最大公約数は623 であるようなαは a=24・3・5 これは, a<bを満たさない。 [1] 6=24(=23) のとき,αと24の最小公倍数が240 [2] b=48 (=24･3) のとき, aと48の最小公倍数が240 であるようなαは a=2･3･5 ただし p=1,2,3,4 a<48 を満たすのはp=1 の場合で,このとき a=30 20 48 72 DELAW 以上から 約数は0で(A) を満たす。 (a,b,c) = (30,48,72) 240=24･3･5 1] 6=23.3 [2] 6=24.3 これからαの因数を考え る。 (80S .SII)

がよい。 (B) から b, c, 次に, る方針で進める。 解答 (B) の前半の条件から,b=24B'′, c=24c′ と表される。 ただし, b','は互いに素な自然数で 6'<c' ····· ① (B)の後半の条件から 246′c'=144 すなわち 6'c' =6 これと①を満たす b', c' の組は ◄ gb'c'=1 (b', c')=(1, 6), (2, 3) よって (b,c) = (24,144), (48,72) 6=246′,c=24c′ (A) から, αは2と3を素因数にもつ。 また,(C)において 240=24･3･5 最大公約数は6=23 であるようなαは a=24.3.5 [1] 6=24(=2･3) のとき, αと24の最小公倍数が240 (80S SII) これは, a<bを満たさない。 [2] b=48 (=24･3) のとき, aと48の最小公倍数が240 であるようなαは a=2･3･5 240=24･3･5 | [1] 6=233 [2] 6=24.3 これからαの因数を考え る。 ただし p=1,2,3,4 a<48 を満たすのはp=1の場合で,このとき a=30 30, 48, 72 の最大公約数は6, (A) を満たす。 以上から (a,b,c) = (30,48,72)

例題 79 最大公約数・最小公倍数と数の決定(2) ★★★☆☆ 次の (A), (B), () を満たす3つの自然数の組 (a, b, c) をすべて求めよ。 ただし、 a <b<c とする。 [ 専修大 ] (A) a, b c の最大公約数は6 (B) bとcの最大公約数は 24. 最小公倍数は144 (C) aとbの最小公倍数は240 例題78 指針 前ページの例題 78 同様, 最大公約数と最小公倍数の性質をフル活用する。 2つの自然数 α 6の最大公約数をg, 最小公倍数を1, a = ga', b=gb' とすると 1 a'と'は互いに素 21=ga'b' 3 ab=gl 例えば, (A) より,α=6k, b=6l,c=6m(k,l,mは互いに素 ; 3数の最大公約数は1 ) としても, 3数 k l m のうちの2数が互いに素とは限らないから、うまくいかない。 そこで, (A) は後回しにし、先に, 前ページ練習 78 (1) と似た条件の (B) から取り掛かるの がよい。 (B) から b, c, 次に, (C) からαの値を求め、最後に(A)を満たすかどうかを確認す る方針で進める。