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参考・概略です

　Ｐから面ＡＢＣに下した垂線の足をＨとすると
　　
　　直角三角形ＰＨＡ，△ＰＨＢ，△ＰＨＣは
　　　∠ＰＨＡ＝∠ＰＨＢ＝∠ＰＨＣ＝90°(仮定より)
　　　ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝4(仮定より)
　　　ＰＨ＝ＰＨ＝ＰＨ(共通辺より)
　　　【直角三角形の斜辺と他の一辺が等しいので】
　　　　△ＰＨＡ≡△ＰＨＢ≡△ＰＨＣ

　　合同な図形の対応する辺は等しいので
　　　　ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨ

　　Ｈは△ＡＢＣの各頂点から等しい距離にあるので
　　　Ｈは、△ＡＢＣの外心となり、
　　　ＡＨ＝ＢＨ＝ＣＨは、外接円の半径となります

　△ＡＢＣで、a＝4，sinＡ＝√7/4　より
　　正弦定理【a/sinＡ＝2Ｒ(Ｒは外接円の半径)】利用し
　　　2Ｒ・sinＡ＝a　から
　　　2Ｒ・√7/4＝4　で
　　　　2Ｒ・√7＝16
　　　　　　　Ｒ＝8/√7
　　　　　　　Ｒ＝(8/7)√7

　直角三角形ＰＨＡで
　　　{ＰＡ＝4，ＡＨ＝Ｒ＝(8/7)√7}より
　　ＰＨ²＝4²－{(8/7)√7}²
　　　　 ＝16－(64/7)
　　　　 ＝48/7

　　ＰＨ＝√{48/7}
　　　　＝(4/7)√21

　Ｓ＝(1/2)・ＡＢ・ＡＣ・sinＡ
　　＝(1/2)・6・5・(√7/4)
　　＝(15/4)√7

　Ｖ＝(1/3)・Ｓ・ＡＨ
　　＝(1/3)・(15/4)√7・(4/7)√21
　　＝5√3