ノートを使って取り組もう! わからないときは解答解説ページの よう。 を実数の定数として = 1/2-77 f(0) = 1/12 cos20+2ksin0+ 3 6 k とおく。 このとき次の問いに答えよ。 □(1)=sin0 とおくとき,f(9) をェで表した式を g(x) とする。 g(x) を求めよ。 □(2) についての方程式f(0)=0が0<<πの範囲に異なる2つの実数解をもつような kの値の範囲を求めよ。 ('03 富山大・教育,経済・改)

振り返り 解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 も参考にしよう! (1) ƒ(0) = k 0 = 1/12cos20+2ksin0+ 76 -3 76 3 =1/12 (1-2sin29)+2ksin0+ x = sin( とおくと, 1 g(x)=1/12 (1-2.m2)+2k+ k 3 76 k A A 基礎事項 2倍角の公式 cos 2a = cos² a-sin² a = 1-2 sin² a = 2 cos² a-1 xと0の対応関係を調べ 1 =-x2+2kx+ (k-2) 3 よって,g(x)=-x+2kr+1/2 (k-2) (答) B POINT 1 (2)=sin0 のとき,xと0(0<0<) は次のように対応する。 BC (ア) 0<x<1のとき 1つのxに対して2つの0が定まる (イ) x=1のとき 1つのェ(=1)に対して1つの0(=△) が定まる (ウ) x≦0,1<xのとき 0 は存在しない 2次方程式の解の条件に 読みかえる こう 考えても PK xと0の対応関係を調べるに は,解答のように単位円を見 いてもよいし、x=sinのグ ラフを利用してもよい。 YA (イ) a X XA 1 To a x=sind -2 π B π 8 (ウ)

したがって, 「f (0)=0が0<0zの範囲に異なる2つの実数 「解をもつ」という条件は, 「g(x)=0が0<x<1の範囲にただ1つ の実数解をもつ」かつ「g(1) ≠0_1 ことと同じである。 (*)・・ 振り返りと0の対応関係を調べ2次方程式の解の条件に読みかえることができたか Check このことはグラフの条件で考えると, 2次関数y=g(x) のグラフ が0<x<1の範囲で軸とただ1つの共有点をもち, かつ g(1) ≠ 0 ということである。D この条件(ただし, 接する場合は除く) は 2次方程式の解の配置問 題を2次関数のグラフの 条件に読みかえる (0) (1) 符号が異なれ ば 2次関数 y=g(x)のグラ フは, 0<x<1の範囲で必ずエ 軸とただ1つの共有点をもつ。 YA D POINT g(0)g (1) < 0 または g (0) = 0 で g(1) < 0 かつ軸が正 E のときに成り立つ。 g(0)g (1) < 0 すなわち, E 1/(k-2)(-1+2k+1/3-2/8) <o <0 (k-2)(7k-5)<0 5 <k<2 7 g(0) = 0 で g(1) <0 かつ軸が正のとき, g(0) = 0 はん=2となり, 5 g(1) <0は<となるため不適。 さらに,y=g(xc) のグラフがx軸と接する, すなわち, g(x)=0 が重解をもつ場合について調べる。F +2kz+1/2 (k-2)=0の判別式をDとすると, 1 g(0) = 0, g(1) < 0, 軸が正の 場合もただ1つの共通点をもつ が不適。 YA 4 1/2=k+1/3(k-2)=0 3k+k2=0 2 k=-1, 3 g(x)=0 の重解は, x=kなので,その解が0<x<1の範囲にあ るのは,k=2/23のときである。G 以上より、求めるkの値の範囲は, 2 3 k = /. /< k < 2 ----- (*) 振り返り Check □ 2次方程式の解の条件を2次関数のグラフの条件に読みかえることができたか G I 落とし穴 「g(x) =0が0<x<1の範囲 にただ1つの実数解をもつ」 条件には, 重解の場合も含ま れる。 そこで、 重解の場合は 別に調べてその解が0<x<1 の範囲にある場合は,答えと しなければならない。 g(x)=0 の重解は、解の公式 より、 =-2k + √D=k -2