極限をとる、x=0でf(x)が連続かつ微分可能である場合が明らかである場合は、3枚目のような場合わけは必要なく、例題のような書き方をしても良いと思います。
ただ、(今回はx=0で)右極限と左極限が一致するか明らかでない時は、場合わけをする必要があります。
今回、91の解説1〜2行目で「f(x)は-π/2<x<π/2において連続で微分可能である」とあるので、本来なら例題のような書き方をしてもいいはずですが、解説では場合わけをしていますが、この理由は出版社や専門家に聞かないとわからないです。。
-1<x<1として平均値の定理を用いる理由についてですが、
x→0の極限を用いるので、基本的にx=0周りのところだけ考えれば良いわけです。
1<xのとき、分母の値が負になり、関数の符号が変わってしまうので、ややこしくなるところは省いて考えたということだと思います。
文献はどこを見ても記述の仕方が色々なので、例題バージョンでもそんなに問題ないと思います。。