45 軌跡(Ⅲ) tが実数値をとって変化するとき,次の関係式をみたす 点P(x, y) の軌跡を求め, 図示せよ. x=cost-1 (1) x=2t+1 y=6t+2 [x=\t\+2 (3) (2) y=t2 {y=sint+1 -1 (0°≦t≦90°) 変数で表されている点P (x, y) の軌跡は次の手順で考えていま 精講 ます。 1. 動く点を(x,y) とおく( II.x,yの関係式を求める すなわち, x, y以外の変数(ここではt) を消去する . Ⅲ.xやyに範囲がつかないか調べる (1 注 変数tのことを媒介変数,または,パラメータといいます。 解答 x=2t+1 (1) y=6t+2 ...... ② ①について解くとt=π-1 y 2 2 これを②に代入してy=3(x-1)+2 よって, 求める軌跡は tを消去 O -1 IC 直線 y=3x-1 また, グラフは右図. 注 tがすべての実数値をとるとき, xはすべての実数値をとるので xには範囲はつきません. だから,横のⅢは解答に現れません. x=|t|+2 ...... ① (2) Ly=t ......② ①より,|t|=x-2......①’ (AA問謡t を消去するための ②よりy=t 準備 ①' を代入して y=(x-2)2 |t|にx-2 を代入

また、①'において, t≧0 だから, x≧2 よって、 求める軌跡は ( 84 放物線の一部 y=(x-2) (x≧2) また、グラフは右図。 2 4 18 注 放物線はxに範囲がつけばyの範囲は決ま るので,yの範囲を考える必要はありません。 t=90°y4 2 [x=cost-1 x+1=cost ...... ① (3) より Ly=sint+1 ly-1=sint………② St 1 \t=0° ①+② より (x+1)+(y-1)2=cos2t+sin't O DC ∴ (x+1)2+(y-1)2=1 (∵ cost+sin't=1) また, 0≦cost ≦1,0≦int≦1 より, -1≦x≦0,1≦y≦2 よって, 求める軌跡は (x+12+(y-1)²=1 (-1≤x≤0, 1≤y≤2) また,グラフは右図。 tは図の位置に あらわれるので, t を 0° から 90° まで動かして考 えることもでき る