参考・概略です

(1) 2つの解を考えると
　　　x²－2ax＋3a²＋4a－1＝0　より
　　　{x－(3a－1)}{x－(－a＋1)}＝0　で
　　　　x＝3a－1，－a＋1

(2) 2つの解の大小関係を考えると
　　　3a－1＝－a＋1　となるのは、a＝1/2
　　　3a－1＜－a＋1　となるのは、a＜1/2
　　　3a－1＞－a＋1　となるのは、a＞1/2

　　2つの解が、－4と1の間にあることから
　　　a＝1/2　のとき、－4＜3a－1＝－a＋1＜1　…　①
　　　a＜1/2　のとき、－4＜3a－1＜－a＋1＜1　…　②
　　　a＞1/2　のとき、－4＜－a＋1＜3a＋1＜1　…　③　

　　①は、重解で「２つの解」の条件に不適

　　②，③を解いて
　　　0＜a＜1/2，1/2＜a＜2/3

「ともに」ということは解が二つ存在するということなので
判別式D>0です。
D'=a²+3a²-4a+1
=4a²-4a+1
=(2a-1)²>0となるので
この二次方程式はaの値に関わらず解を二つもつことがわかります。

次に軸の方程式を求めます。

f(x)=x²-2ax-3a²+4a-1として
f(x)=(x-a)²-4a²+4a-1より
軸の方程式はx=aです。

-4<x<1の間で解を持つには、
軸の方程式が範囲内にあり（①）、
かつ、f(-4）>0（②）,f(1)>0（③）です。
グラフで考えてもらうとわかりやすいと思いますが、
頂点のｙ座標が範囲ないの負の部分にあり（解が二つ）
f(-4)>0,f(1)>0であれば、範囲内でｘ軸と2点で交わります。
∴
①-4<a<1

②f(-4)=16+8a-3a²+4a-1
=-3a²+12a+15>0
a²-4a-5<0
(a-5)(a+1)<0
-1<a<5

③f(1)=1-2a-3a²+4a-1
=-3a²+2a>0
-3a(a-2/3)>0
a(a-2/3)<0
0<a<2/3

以上より①②③を満たすaの範囲は0<a<2/3です。