どう発想するか、は答えるのが難しいですが…

連続する100個の合成数を1組挙げれば終わりです

連続する100個の整数は、○を正の整数として
　○, ○+1, ○+2, ……, ○+99
のような感じです（一例）

これらがすべて合成数なので、
まず○は合成数です

○+2が合成数ということから、
○が2を因数にもつ場合を考えます
そうすれば、(2の倍数○)+2は合成数です

（○+2が合成数⇒○は2を因数にもつ、
もたなくてはならない、ということではありません）

○+3が合成数ということから、
○が3を因数にもつ場合を考えます
……

○+99が合成数ということから、
○が99を因数にもつ場合を考えます

（○+1が合成数、からは特に何も得られなそうです）

ということで、○が
とりあえず2,3,……,99を因数にもつ場合
　○ = 2×3×……×99×(正の整数)
　= 99!×(正の整数)
を考えます

この時点で、○は階乗に関わる数です
101!でも102!でも103!など
（100!や99!、……はダメです、後述します）

○ = 99!×(正の整数)のとき、
○と、○+2, ……, ○+99は合成数です
しかし、○+1が合成数かはわかりません

よって、○+1と○は捨てて、
○+2以降で連続100個を考える、
というふうに話をアップデートします
　○+2, ……, ○+99, ○+100, ○+101
です

○+100, ○+101も合成数にするので、
○も101!に修正します（102!以降でもよい）

○が100!, 99!, ……だと、
少なくとも○+101が合成数ではなくなるので
まずいです