なぜ同値なのか簡単な証明方法を教えてください

古い記憶を頼りに生きているのでこれを読んで自分なりに考えてみてください。必ずしも完璧な答えじゃいと思っておいてください。間違ってたらすみません。画像じゃないのでわかりにくいと思いますが読み解いてくれると助かります。

①まずは確認
∣x∣2|x|^2∣x∣2 と ∣x2∣|x^2|∣x2∣
∣x∣2=(∣x∣)2|x|^2 = (|x|)^2∣x∣2=(∣x∣)2
これはxの絶対値をとってから2乗

∣x2∣|x^2|∣x2∣
これはxを2乗してから絶対値

でも、どちらも 結果は同じ
x2x^2x2 は常に0以上だから、
∣x2∣=x2=(∣x∣)2=∣x∣2|x^2| = x^2 = (|x|)^2 = |x|^2∣x2∣=x2=(∣x∣)2=∣x∣2
よって
∣x∣2=∣x2∣|x|^2 = |x^2|∣x∣2=∣x2∣

② ∣x+2∣4|x+2|^4∣x+2∣4 と ∣(x+2)^ 4∣|(x+2)^4|∣(x+2)^ 4∣

∣x+2∣4=(∣x+2∣)4|x+2|^4 = (|x+2|)^4∣x+2∣4=(∣x+2∣)4

∣(x+2)4∣=∣(x+2)4∣|(x+2)^4| = |(x+2)^4|∣(x+2)4∣=∣(x+2)4∣

(x+2)4(x+2)^4(x+2)4 ってもともと 必ず0以上
偶数乗だから、どんな実数でもプラスになる
つまり、
∣(x+2)4∣=(x+2)4=(∣x+2∣)4=∣x+2∣4|(x+2)^4| = (x+2)^4 = (|x+2|)^4 = |x+2|^4∣(x+2)4∣=(x+2)4=(∣x+2∣)4=∣x+2∣4
よって
∣x+2∣4=∣(x+2)4∣|x+2|^4 = |(x+2)^4|∣x+2∣4=∣(x+2)4∣

結論
全て 同じ
∣x∣2=∣x2∣|x|^2 = |x^2|∣x∣2=∣x2∣

∣x+2∣4=∣(x+2)4∣|x+2|^4 = |(x+2)^4|∣x+2∣4=∣(x+2)4∣

ありがとうございました