右図のように,質量 2mmの小さ なおもりA,Bがばね定数んのばねで 結ばれて水平でなめらかな床の上に静止 している。 A 2m ab 時刻 t = 0 に, A のみに初速度v (右向き正) を与えた。 (1)A,B2 物体全体の重心Gの速度 vc を求めよ。 B k m 12 (2) Gから見ると, A, B はそれぞれ単振動しているように見える。 その単 振動の周期 TA, TB を求めよ。 (3) ばねがはじめて最大に伸びるときの時刻 t = t] を求めよ。 (4) t=t のときのばねの最大の伸びを求めよ。 JARI (5) 時刻 t =tのときのAの床から見た速度 vs を tの関数として求めよ。

(1)図 9-15 のように,重心の位置は,A,Bを 2m 質量の逆比に内分した点Gにある。そして, その重心速度vc は 「解答のポイント」より, 全運動量 ○ 1:2 m 0 G VG 図9-15 t=0での重心座標 VG= 全質量 2mv+m.0 2 = 2m+m .. 1 € (2), A,B全体に着目すると外力 は働かないので, 「解答のポイント」 で見たように重心Gは一定速度vc で 動く (図9-16)。 このとき大地から見 たA, B それぞれの動きは図 9-16 の ように「グニャグニャ」ととても複雑 になってしまう。 A G B A そこで,A,Bの運動を図9-17 のように重心G上に乗って見る。 すると固定された重心Gの左右 で, Aがばね AG, B がばね GB によ って,それぞれ独立に水平ばね振り子 運動しているように見える。 Ast複雑 図9-16 床から見たA,Bの単振動 このときのばね AGの長さは全体のば ねの長さの倍であるので,「解答のポ イント」で見たようにばね定数k は逆 にその3倍の A 固定 B kA=3k k=- 3k 2 図9-17 G上から見たA,Bの単振動 k=kx- = =3k over-e 1/3 同様に, ばね GB のばね定数 kB は, AE (016) 100 kB =kx- 1 2/3 3 となる。 よって, A,Bの単振動の周期 T, TB は, S 2m TA=2π√ 3k

2m m -=2л√√ 3k Th=2π 3k となる。 ここで T = T, なので A, B はGの両側で同じタイミングで振動して いることがわかる。必ずT=Tmとなることは覚えておいて損はない。 (3) 図9-18 のように, t=0でばねが自然長の 1 V-VG= v 3 G 状態から運動を始めて, t=t でばねがはじ めて最も伸びたとすると、図より (中)→(折) →(中)→(折)までの時間で, t=0 AQ 2m 伸び 0 伸び0m² Oman B 3 t₁ = x (T) 4 3 2m 4 -x2л√3k ②より) 3 t=t₁ k 3k 2 0 3m 伸び d 伸び 2d =π√2k (4) 図9-18 のように,t=tでばねが最も伸び たときのばねAGの伸びをdとすると, HA1 図9-18 そのときのばね GB の伸びは2d となる(常にAG : GB=12となるため)。 ここで, t=0のときのGから見たAの相対速度が V-VG= ① 3 見るものの速度 MOR A 1- DAA 5 であることに注意して, Gから見た AG 間のみの力学的エネルギー保存則より ・2m 1.2m (10) - 1.3kd² v 2m VAG = •3kd2 . d= 2 3V 3k V 3 t=0 t=t₁ よって, ばね全体の最大の伸びは, 2m d+2d=3d=vv 3k (5)Gから見たAの相対速度 VAG は,図9-19 のグ ラフを式にして v 2π v 3k 3 VAG= COS t= cos√2m COS t(②より) 0 03 ←+ TA 図9-19 TA 床から見たAの速度は,これに重心Gの速度vを上乗せして, VA = VAG+ VG = COS√2 v 3k 2 -t+ ひ 3 3 となる。