これは解説が言葉足らずですね。
xの2次方程式①が重解を持つ、それは
①の判別式Dとして、D＝0のときです。

写真では下の方に書いておきましたが、
ax^2＋bx＋c＝0
において、判別式Dは
D＝b^2－4ac
です。
覚えておくならこれだけでも充分ですが、
煩雑な式になるとb^2や4acの計算がめんどうです。
なので、b＝(偶数)、
つまりb＝2Bのように表せる時についても
触れておきます。

b＝2Bのとき、
D＝4B^2－4ac
＝4(B^2－ac)
∴D/4 ＝B^2－ac
となります。

今回はb＝－2k(＝偶数)なので、
D/4が使えます。
重解を持つことから、D＝0。
つまり、D/4＝0が成立。

D/4 ＝B^2－ac
＝(－k)^2－1･(2k^2－2)
＝0
∴解説のように、
k^2－(2k^2－2)＝0、となる訳です。