「②が全てのy,zについて成り立つ⇔①が全てのx,y,zについて成り立つ」というのは今回の解答においては必ずしも成り立つとは限りません。何故ならば、解答にある通りa=±2のときy=1,z=-1という反例があるからです。よく模範解答を見てみて下さい。解答では「①が全ての実数xについて成り立つ⇔その判別式D₁≦0」と書かれています。あなたが書いたような「①が実数x,y,zで成り立つ…」という条件はどこから出てきたの？となっちゃいます。①と②の真理集合が等しいとき、それらは同値であり、①が全ての実数で成り立つならば、その判別式D₁が0以下、すなわち②が成り立つことが必要条件であり、またそのD₁を変形して出てきた2変数関数が全てのx,yについて成り立つという制約が出てくるわけです。
非常に丁寧な解答をありがとうございます。
追加で質問があるのですが、教えていただいても良いでしょうか。
「この時点で全てのxについて成り立つように変形してきた訳ですから、残りのyとzで成り立つ条件を考えたいとなるわけです。」という箇所についてなのですが、全てのxについて①が成り立つためには……と考えて出てきた条件②が、全てのyで成り立つ時、全てのyについて①も成り立つ、というのはなぜなのでしょうか。
つまり、仮に、全てのyについて②が成り立つようなaの範囲があったとして、その範囲の中で常に、「全てのyについて①が成り立つ」ことはどうして言えるのかが分かりません。
すみません、全体的に何を問うているのかが少し理解し難く、自分なりの解釈をして回答しているので分からないことがあったらいくらでも聞いてください。
つまりは、
∃(y,z)∈ℝ²,∀x∈ℝ,x²-a(y-z)x+y²+z²≠0ということです。
このとき、∃(y,z)∈ℝ²,(4-a²)y²+2a²yz+(4-a²)z²≠0であり、これらは同値、すなわち
「∃(y,z)∈ℝ² ,∀x∈ℝ,x²-a(y-z)x+y²+z²≠0」⇔「∃(y,z)∈ℝ²,(4-a²)y²+2a²yz+(4-a²)z²≠0」
また、ここで②の真理集合が全ての実数y,zであるようなaの範囲を求めたい、すなわち
「∀(y,z)∈ℝ²,∃a∈ℝ, (4-a²)y²+2a²yz+(4-a²)z²≠0」ということです。
全てのyについて②が成り立つようなaの範囲があったとして、その範囲の中で常に、「全てのyについて①が成り立つ」ことはどうして言えるのかが分かりません。
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もし自分の解釈があっていれば、あなたの疑問は根本的に間違っていると思います。間違っているものを正解だと思い込んで考え込んでいるので迷宮入りしているのだと思います。
例えば、二次方程式x²+bx+1=0がが全てのxについて解を持たないようなbの範囲は？と聞かれたらどうしますか？
判別式D=b²-4<0、すなわち-2<b<2と答えると思います。これって全てのxについては成り立っていても、全てのbについては成り立っていませんよね？求めたい-2<b<2の範囲でしか条件を満たさないはずです。これと同じです。
つまりは、x²+y²+z²≧ax(y-z)という式を変形したらたまたまxについての二次関数が出てきて、問題で全てのx,y,zについて成り立つとあるからまずは運良く出てきたxについての二次関数が全てのxについて満たすような条件を調べてみようという発想に至ります。そうして出てきた判別式によるyとzに関しての2変数関数が、はたまた②のような形になり、この時点で全てのxについて成り立つように変形してきた訳ですから、残りのyとzについて、全てのyとzで成り立つ条件を考えたいとなるわけです。ぶっちゃけ最初でyについての二次関数を考えてもいいですし、zについてでもいいんです。今回求めたいのはaの範囲なので、これらは全てaに依存します。