等式の証明 日本 135 が自然数のとき、 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。 ·+n•n!−(n+1)!−1 1-11+2-21+ による証明は、前ページの のようにす [1] n=1のときを証明 [2] のときに成り立つという仮定のもとで、 n=1のときも成り立つことを証明 [1] [2] より すべての自然数で成り立つ。 [2] においては、 カーkのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って、①+1のと 立つこととなる。 [I] n=1のとき 左辺1-11+2・2!+······+·+(k+1)(+1)! が、 ((+1)+1)! -1に等しくな ることを示す。 また、結論を忘れずに書くこと。 [1], [2] が示されたとすると、次のようにして、1.2.3. **** (左辺)=1.11=1, (右辺)=(1+1)! -1-1 よって、①は成り立つ。 [2] =kのとき、①が成り立つと仮定すると [1] から、n=1のとき ① が成り立つ (*) および [2] から、n=2のとき ① が成り立つ ****** (**) (**) および [2] から、n=3のとき① が成り立つ 1・1!+2・2! + ······+k.k!= (k+1)!−1。 ② 00000 =k+1のときを考えると, ② から ****** 1・1! +2・2! + ······+k.k!+(k+1) (k+1)! =(k+1)! -1+(k+1) (k+1)! ={1+(k+1)}(k+1)! -1 =(k+2)(k+1)!−1=(k+2)!-1 ={(k+1)+1}!-1 よって,n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 1] [2] から すべての自然数nについて ①は成り立つ。 (honi) 早稲田大] 20① 591 ATHERS BEL とり は数学的帰納法の 決まり文句｡ 答案ではきちん と書くようにしよう。 でーとおいたもの。 [2] nk+1のときの①の左 辺。 PAR n=k+1のときの ① の右 辺 1