264 参 双曲線関数 事項 p.254 の練習 149 (9) では, 関数y= ex-e-x exte-x の3つを 双曲線関数といい, グラフはそれぞれ右下のようになる。 ① sinhx= y4 2 3 coshx= tanhx= [1] の証明 ALTIN ex-e-* 2 ette* 2 ex-e-* e* te* (左辺)= - の導関数を求めた。 この関数を含めて、次 y=coshx y=e² O y=sinhx y= C 双曲線関数の逆関数 y=-e A ASIG YA 251 なお, sinh x をハイパボリック サイン, coshx をハイパボリック・コサイン, tanhx をハイパボリック・タンジェントとよぶ。 高校数学において,これらの記号を直接使う場面はないが,双曲線関数を背景とした入 試問題はよく出題されるので,その性質を知っておくと便利である。一部を紹介しよう。 sinhx D 691 [2] tanhx= coshx [1] cosh’x−sinhx=1 [3] (sinhx)'=coshx 1 cosh"x それぞれ三角関数に似た関係式であることに注目したい。 例えば, [1] は次のようにし て証明できる([2]~[5] もそれぞれ確認してみよう)。 #TERO [>x>I-# (x)\ (S) 0 [5] (tanhx)'= (12(>1- 1>x>1-) (R = (@r+ (x)\\ [4] (coshx)'=sinhx (e*+e-x)*(ex-e^*)? _ e2x+2+e-2-(e2x-2+ℓ^2)=1=(右辺)示せ。 4 4 373 08=(1) 1-54 3=88) $18-5 [1] から なぜ ①~③ が “双曲線関数” とよばれるかがわ かるだろう。 なお, 三角関数は円関数ともよばれており, COSx, sinx は単位円上の点の座標として定義されている。 一方, coshx, sinh x は, 直角双曲線上の点の座標として定大10 義されている。 また,基本例題 75では,双曲線x2-y2=1の媒介変数表 t2+1 t²-1 示x=- y= を導いたが,このte とおき換え 2t 2t るとx=cosht, y = sinht となる。 YA y=tanhx x A (cosht, sinht) 91-il (S) 1 C DESI 4TH x ✓x-y²=1 (日)広島市大 mil=(s) 20 SH p.262 の EXERCISES 119 (2) では,導関数を求める際に, 関数 y=log(x+√x2+1) か TRIJED らx= - (=sinhy) を導いた。 このことから, y=10g(x+√x2+1)とy=sinh x は 2 逆関数の関係になっていることがわかる。 22 基 ①1 高次 ① (2) 2② 方法 [1 [2 ③ y 2