(1)1セット目:a⇒3a⇒3¹'²×a¹'²⇒3¹'⁴×a¹'⁴
　2セット目:b=3¹'⁴×a¹'⁴とおく
　　　　　　b⇒3b⇒3¹'²×b¹'²⇒3¹'⁴×b¹'⁴より
　　　　　　　 3¹'⁴×(3¹'⁴×a¹'⁴)¹'⁴
=3¹'⁴×3¹'¹⁶×a¹'¹⁶
　　　　　　 =3¹'⁴⁺¹'¹⁶×a¹'¹⁶
　3セット目:c=3¹'⁴⁺¹'¹⁶×a¹'¹⁶とおく
　　　　　　c⇒3c⇒3¹'²×c¹'²⇒3¹'⁴×c¹'⁴より
　　　　　　 3¹'⁴×(3¹'⁴⁺¹'¹⁶×a¹'¹⁶)¹'⁴
=3¹'⁴×3¹'¹⁶×3¹'⁶⁴×a¹'⁶⁴
　　　　　　　=3¹'⁴⁺¹'¹⁶⁺¹'⁶⁴×a¹'⁶⁴
　iセット目において
　3の指数部分は
　初項:1/4,公比:1/4,項数:iの等比数列の和なので
　　{1/4×(1-(1/4)ⁱ)}/(1-1/4)=(1-(1/4)ⁱ)/3
　aの指数部分は
　初項:1/4,公比:1/4の等比数列の一般項なので
　　1/4×(1/4)ⁱ⁻¹=(1/4)ⁱ
　ここでiセット目は3⁽¹⁻⁽¹'⁴⁾ⁱ⁾'³×a⁽¹'⁴⁾ⁱ
　∞セット目において
　i⇒∞として
　　3⁽¹⁻⁰⁾'³×a⁰=3¹'³×1=3¹'³
　そして答えは
　　3の3乗根
(2)1セット目:a⇒3a⇒3¹'²×a¹'²⇒3¹'⁴×a¹'⁴⇒3¹'⁸×a¹'⁸
　2セット目:b=3¹'⁸×a¹'⁸とおく
　　　　　　b⇒3b⇒3¹'²×b¹'²⇒3¹'⁴×b¹'⁴⇒3¹'⁸×b¹'⁸
より
　　　　　　　 3¹'⁸×(3¹'⁸×a¹'⁸)¹'⁸
=3¹'⁸×3¹'⁶⁴×a¹'⁶⁴
　　　　　　 =3¹'⁸⁺¹'⁶⁴×a¹'⁶⁴
　3セット目:c=3¹'⁸⁺¹'⁶⁴×a¹'⁶⁴とおく
　　　　　　c⇒3c⇒3¹'²×c¹'²⇒3¹'⁴×c¹'⁴⇒3¹'⁸×c¹'⁸
より
　　　　　　 3¹'⁸×(3¹'⁸⁺¹'⁶⁴×a¹'⁶⁴)¹'⁸
=3¹'⁸×3¹'⁶⁴×3¹'⁵¹²×a¹'⁵¹²
　　　　　　　=3¹'⁸⁺¹'⁶⁴⁺¹'⁵¹²×a¹'⁵¹²
　iセット目において
　3の指数部分は
　初項:1/8,公比:1/8,項数:iの等比数列の和なので
　　{1/8×(1-(1/8)ⁱ)}/(1-1/8)=(1-(1/8)ⁱ)/7
　aの指数部分は
　初項:1/8,公比:1/8の等比数列の一般項なので
　　1/8×(1/8)ⁱ⁻¹=(1/8)ⁱ
　ここでiセット目は3⁽¹⁻⁽¹'⁸⁾ⁱ⁾'⁷×a⁽¹'⁸⁾ⁱ
　∞セット目において
　i⇒∞として
　　3⁽¹⁻⁰⁾'⁷×a⁰=3¹'⁷×1=3¹'⁷
　そして答えは
　　3の7乗根
(3)※指数部分のnはn乗を表す
　1セット目:a⇒3a⇒3¹'²×a¹'²⇒3¹'⁴×a¹'⁴⇒…
⇒(3¹'²×a¹'²)¹'ⁿ=3⁽¹'²⁾ⁿ×a⁽¹'²⁾ⁿ
　2セット目:b=(3¹'²×a¹'²)¹'ⁿとおく
　　　　　　b⇒3b⇒3¹'²×b¹'²⇒3¹'⁴×b¹'⁴⇒…
⇒(3¹'²×b¹'²)¹'ⁿ=3⁽¹'²⁾ⁿ×b⁽¹'²⁾ⁿより
　　　　　　　 3⁽¹'²⁾ⁿ×(3⁽¹'²⁾ⁿ×a⁽¹'²⁾ⁿ)⁽¹'²⁾ⁿ
=3⁽¹'²⁾ⁿ×3⁽¹'²⁾²ⁿ×a⁽¹'²⁾²ⁿ
　　　　　　 =3⁽¹'²⁾ⁿ⁺⁽¹'²⁾²ⁿ×a⁽¹'²⁾²ⁿ
　3セット目:c= 3⁽¹'²⁾ⁿ⁺⁽¹'²⁾²ⁿ×a⁽¹'²⁾²ⁿとおく
　　　　　　c⇒3c⇒3¹'²×c¹'²⇒3¹'⁴×c¹'⁴⇒…
⇒(3¹'²×c¹'²)¹'ⁿ=3⁽¹'²⁾ⁿ×c⁽¹'²⁾ⁿより
　　　　　　 3⁽¹'²⁾ⁿ×(3⁽¹'²⁾ⁿ⁺⁽¹'²⁾²ⁿ×a⁽¹'²⁾²ⁿ)⁽¹'²⁾ⁿ
=3⁽¹'²⁾ⁿ×3⁽¹'²⁾²ⁿ×3⁽¹'²⁾³ⁿ×a⁽¹'²⁾³ⁿ
　　　　　　　=3⁽¹'²⁾ⁿ⁺⁽¹'²⁾²ⁿ⁺⁽¹'²⁾³ⁿ×a⁽¹'²⁾³ⁿ
　iセット目において
　3の指数部分は
　初項:(1/2)ⁿ,公比:(1/2)ⁿ,項数:iの等比数列の和なので
　　{(1/2)ⁿ×(1-((1/2)ⁿ)ⁱ)}/(1-(1/2)ⁿ)
　aの指数部分は
　初項:(1/2)ⁿ,公比:(1/2)ⁿの等比数列の一般項なので
　　(1/2)ⁿ×((1/2)ⁿ)ⁱ⁻¹=((1/2)ⁿ)ⁱ
　∞セット目において
　i⇒∞として
nは自然数なので
　　3⁽⁽¹'²⁾ⁿ*⁽¹⁻⁰⁾⁾'⁽¹⁻⁽¹'²⁾ⁿ⁾×a⁰=3⁽¹'²⁾ⁿ'⁽¹⁻⁽¹'²⁾ⁿ⁾
　そして答えは
　　3の1(2ⁿ-1)乗根
(4)(3)より
　(★)の操作において
　電卓で押す数字を3ではなくkにしたとき表示される
　数は
　　kの1(2ⁿ-1)乗根
　ここでk=2⁹³,n=10のとき2の1/11乗根ができるから
　　×2⁹³=√√√√√√√√√√を1セットとして繰り返す
☆ポイント☆
(1)(2)(3)
①1セット目・2セット目・3セット目でどんな値が出るか実験する
②iセット目でどんな値が出るか①を参考にして考える
③i⇒∞にして∞セット目でどんな値が出るか求める
(4)(★)で入れ替えられる数は3と√の個数であること
　に着目する