ページ3:

Date
No. 48
・間19224 次の曲線とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。ただし、abは
正の定数とする。
(1)曲線レピ、9=3t-3tcost≦)
x=ピより=2t
くさく1のとき270なので、符号は一定
y
S = S.' 1 (31-3 t² ) ⋅ 2 + 1 dt
So' 16t² -6 +31 dt
OSES1のとき
61-6120なので
·S-So 16t² -6t7dt
= [2t³-3 t4]'
3.
=2-33
L
2
2
(2)楕円の上半分スニacost, gebsint (0≦≦)
h=acostより dy
dt
-asint
かくのときasinも<OT符号は一定
g
a
この楕円は軸で対称なので
JL
S-2)² | bsint (-asint) dt
=2501-absintldt
Ost≦のとき-absints0なので
√√ = 2 fr² absin² ± dr
=zab・1/2・
=1/πab
-a
a
/t=0のと
x=a1:0
た匹のとき
o.g=6
亡=TLのとき
x= -a,y=0

ページ4:

媒介変数表示による曲線の長さ
No. 49
曲線=f(t)、4=g(t) (dsts)の長さlは
'dx.
b = S √ {F (+)} + { g'(x)}^ dt = f (dx + (de)" dt.
R34 例題2 αを正の定数とするとき、次のサイクロイドの長さを求めよ
x-alt-sint), y = a (1-cost) (0 ≤t≤2π)
y =
dv
de all-cast), dy.
=
27
at
=
asint Eli's
= Sª²√a²(1-cast)²+ a²sin²³t de
rea
So Joct-2 cost+cost+ Sin't dt
√
√Za² (1-cost) dt
= √ √20². zsin²±dt
Sot √140 sin² = dt
EMG] [0, 2π] 7 sin² = 30 Eli's
・2
l za sindt
=
t
za [ - 2 cos ± 12t
= 2a {-2 COSπL - (-2 COSO)}
=2a9-2-(-1) - (-2·1)}
=80
Xx-at-asint
dx
ata-acost
=a(1-cost)
y=a-acost
dy
JE
→え
ra
zka
:
2
-a-t-sit
asint
sin'α= 1-cos2d
2
2 sin cosx
都PB5 問2 次の曲線の長さを求めよ
(1)円x=acost,y=asint (D≦ts, aは正の定数)
the
dt
----asint, du
rZx
= acost Ets
l = Jo˜^√a²sin²t + a²cost dt
=
So² / a² (sin² + + cos³t) dt
→次のページへ

ページ5:

No.
50
2
l = S² 10² dt
=
L²² laldt
a7081 lft adt
=
[at]za
=2πa
(2) x=etcost, yet sint (O≤t ≤ 1/1)
(fg) fatig
de
dy
-et cost-etsint,
=etsint + et cost
dt
-e² (cost-sint)
=
et (sint + cost)
dil l = √ ³ ³ / e²² (cost- sint)² + e²² (sint + cost; dt
M
=
A
=S&²²² (2 cos²t +25in't) dt
21
- J³² √12 et dt
=
√ Le
= √(e²²-e²)
Z
=
- √12 (e = -1).
間P59 225 次の媒介変数表示による曲線の長さを求めよ.
(1) x = 3 t², y = 3 + - + ³ (0≤t≤2)
t t
= 6t, dy = 3-31² ₤ #s
dx =
dt
dt
だから
l= S² √ (6+)² + (3-31²)² dt
- So² √ 367² + 9-18 t² 1914 dt
= S² √9 + + + 18 t² + 9 St
→次のページへ

ページ6:

SIP59
2250の
続き
l = So² 3 √ +4 + 2 t² + 1 dt
= (² 3 √(F² + 1)² de
= √ ² 3 (+² + 1)dt
· [t³ +3t]
=8+6
14
(2) x=tcost, y=tsint
(Ost≤R)
by cost-tsint,
dy
=sint+tcostなので
dt
It
No.
51
Check
I = for (cost-tsint)² + (sint † tcost)² dt
So cost-2tcastside+tsmet+sint+2tsmtaost+ticstdi
+1
= { [t√t + + log/t +√t + 1 ] o
= = {π TTC + [ +loq | π[ + √ π² + 1 = (0 + log 1 )}
中
1 238 次の曲線および直線で囲まれた図形の面積を求めよ
(1)曲線スピ,y=(ヒ-23 (0≦ts2)と大軸,4軸
S-S² 1 (t-2)² 3t²ldt
= √ ² 13 ±² - 12 ť² + 12 +³/ dt
= 3√ ² 1 +4 - 4t² + 4+²/dt
Dst=2のときー代+4ピンなので
5 = 38 ² ( t 4 - At² + 4+) dt
-
=3(2-16+2)
x=ピより
dx
at
くもくこのとき
Size + Ad
1/2(+A+Alog++AD
S = √ √ √ d
- 3+²
るピロなので符号は一定

ページ7:

Date
12
No.
52
P&I 238
(2)曲線x=e2t, y=e3t+1 (0≦t1)とx軸と2直線x,xe
S
·s· fo'l (e* +1)·ze² + \/dt
x=201
dx
at
=
-S'/2est +2e² Idt
=20²²+
<<1のとき270の符号は一揆
- Check
問61239
ost≤larz zest +20²+ 70 17012
S = So² (2 est + 2e²+7dt
=
+
={{e³ +e²)¯ ( {e° + e°)
12/0² + e² - ( ½ + 1)
(+1)
{d² + e² - 1
次の媒介変数表示による曲線の長さを求めよ.
(1) x = t³, y = 3 t² (0 ≤t ≤1)
d
dy
on = 31², dt = 6+ Haz
dt
b = √ √ (3 t²)² + (6 t )² dt
=
S'√9+4 +36 +² dt
= So √9 t² (t² + 4 ) dt
toarz
x=e°
1
t=1922
x: e²
21 1
std!
= So³ t√t + 4 dt
= 3
-> Totst = 4 de
=
= 3√ ½ 1½ ½ Judu
4 Z
= 3/41, ut du
=
=
2
u
52-42
=
515-8
チチ=uとおくと(ピ+4&t=du
+1071
414-5
2tdt-du
tdt = du
432 = (23) 2
= =23
-8

ページ8:

(2) x = et cost, y = et sint (osts 2x)
No.
decost-elsint, detsintercost
dt
ZJL
dt
53
(fg) = fg++q'
l = 12 √(-e^ cost-e "sint)² + (-e^^ sint + e² + cost) ³ dt
D
- Sort / Ze²² (cos³t + sin³t) ft
• So √2ce-tje dt
=fore t√2dt
-t
= √2 [ - e² + 1²²
- √2 { - e²²² - (-e²)}
= √2 (1-e)
回転体の体積V 区間(3)でf(x)の符号が一定のとき
dx
V = x² {g(t)}² | ft)ldt = πf y² de ldt
P135 例題3のを正の定数とするとき、次のサイクロイドをx軸のまわりに回転して
できる回転体の体積Vを求めよ.
x=act-sint),y=all-cost) cost)
y
jx
-=a (1-cost)
at
曲線は直線に元のに関して対利だから
V=2 「ao-astfac-att
= 2πf, ² a³ (1-cost)³dt
=2ña³ f^ (1-cast) dt
x
G
Ta
Zra
次のページへー

ページ9:

INO.
34
教135
例題3の続き
V = 2 xa³ for² (1-cost)'de
t
=Zxa³/" (25m² ² )'de
K
t
Sin² 1
1-COST
2
1-Cosa = 2 sin²
4日をおくと('dt=do
2
16πa³ fa² sint ± ± dt 4
= 16xα³ S^ Sin³ 0·2do
t10→
0101/
-32xα" ["sm² de
=32π9³·
5.3
.
64
2
2
=5π²0³
1/2dt=do
dt=2d0
Ssin'dx="-1,13 1.7
(んが偶数)
教P135 問3 媒介変数表示ス=acost, y=asint (0≦tsnaは正の定数)
で表される半円をx軸のまわりに回転してできる球の体積を求めよ.
the-A-(-sint)
et
=-asint
OS亡くてのときasint<o
-a
0
a
この半円はy軸に関して対称なので
V = 2π √ ² (asint)/-asint/dt
=2π f³² a² sin³t · asint dr
f²
=2π a sin³ tdt
=2πa³,
・季
2
IL
nn-222
Sindy
1-117-3
で今のと
x=0.1=0
(んが奇数

ページ10:

No. 55
39 226 媒介変数表示x=acost, y= bsint costミπ, abは正の七=0のとき
定数)で表される楕円の上半分を入軸のまわりに回転してできる回転体 x=a,g=0
の体積を求めよ
d
dt
た今のと
2
2=0,y=b
asint
0く亡く兀のとき-asint<0で
第号は一定.
-a
(cosx) sinh
この楕円は軸に関して対称なので
V = 2π 1 = (bsint) 1-asint/dt
10
2
=zπab³ ³ sin³t dt
-2πab² 2/3
=含ab2
教P1354 媒介変数表示x=ty=l-tcostsl)で表される曲線と
大軸およびy軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる
回転体の体積を求めよ
t=1-8
x=(1
x=(y-12
che
dt
=2tot<1のとき号は一定
y
V = π [ (1-1)² - 2t dt
T
0
=2x flt-21° de
+ t³) dt
=
ピナ
=
2π[ネピー
=2(3/3+/1/2)3-8+6
・2・1/12
匹

ページ11:

開P59 227 次の図形を入軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求め()=(5)
(1)曲線x=2,y=√
れた図形
d1
de FE
(0≦)と大軸で囲ま
2
0
①<<1のときの符号は一定
V = x ['wx-1). Edt
x So (st - 2 t + tot) dt
こた [ピービー場]
+
5
二九(3/3-1+1/3)
10-15+6
15
-
Sinza
15
(2)曲線x=sint.y=sin2t (osts/)と大軸で囲まれた図形
dz
dt
=COSt, O<<聖のとき Cost)oなので符号は一定.
=25inals 2倍角の公式より y=2sintcost
V=TS (2smtcost) costdi
=41) ³ ³ Sin't cos³t: costat
= 4√ Sin't (1-Sin't) cos tdt
• 4πS' u² (1-u²) du
- 4π So (u²- u²) du
4匹(1-3)
15
5-3
15
2
→
sint=uとおくと(int) dt=du
t10→
41071
cost dt-du
P

ページ12:

82
Check
Date
No.
P61240 次の図形をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
(1) 曲線x=3,y=ピ2-1(-1≦1)と軸で囲まれた図形
d=30代くのとき370なので符号は一定
dt
2
de
√√ = x L (1²-15-st°
2
π S₁ ( ± 6 - 2t² + ±²) dt
tttは偶関数なので
-6+5
= 6πS' (16 - 2 + + + +² ) dt
〃
4
10
6π[ビー号+1/3]
2
6π(11-3/3+/13)
7-5
¥6.8
26
+
15
7-15
ミニ15-7
&
105
57
10.535
76
TL
105
35"
(2)曲線ス=ピ、y=et (ostsl)とX軸軸と直線で囲まれた図形
b=2t.0<t<1のとき2070なので符号は一定
dt
V=TS9ztdt
2+
== π f' 2t e²² dt
f(x)=2t, g(x)=
e26
fu=2G(x)=1/22
π2.
2
[e]
[zte-et
=TL
· [te²]
= π е²² - π (²±²е² - ½e³)
π(2/22-2/23)
・//πルピ+2/2
II (e²+17
で

ページ13:

No.
58
②2 極座標による図形
教P136
例 直交座標が(1,1)である点P
の極座標(1)
極座標が(2,π)である
点Qの直交座標は(何
極座標と直交座標
x=rcoso
1y=rsing
r = √√√x²+ y²
26-11√3)
P(1, 1)
2
P点の直交座標
(スノ)
点Pの
座標
r:動径
x
B:偏角
(r,8)
x
y
6050=
sinθ:
1
2+22
√x272
例2 点Pの座標が(-2,-2)のときに2枚
#. COSO=-
--
7
11/1, sing = -1/781 0 = 1/πTh
2
よって、点Pの極座標は(2,轨)
P(-2,-2)
教P137 問5 次の極座標をもつ点の直交座標を求めよ
(1) (2, 3)
x=rcoso, y=rsingより
=2COS
T
y = 2 sin
= 1
よって求める直交座標は(1,1)
(2)(1,π)
x= √3 COSTL
y=√13 Sinπ
= -
一同
= 0
よって求める直交座標は(一般0)
P
0
-x
x

ページ14:

Date
No.
y
59
x
A
08
375 (3) (4,芝)
x=4COS/2/24=4sin 2/2
=0
=
4
よって求める直交座標は(0,-4)
- 開P59228 次の極座標をもつ点の直交座標を求めよ.
(1)(4
号)
x = 4 COS Fπ
=4(一)
-21
2
y = 4 sin fr
=4.1/
-
2
2
よって求める直交座標は(-21,2)
(2)(5,-1)
x=5cos(-2/) 9:5sin(-1/2)
=0
=5:(-1)
=-5
よって求める直交座標は(0,-5)
RW
Fr
0
x=2005年
(3)(2
赤を感
年)
y=2sin
=
12
=2--1/12)=2.41/12)
よって求める直交座標は(一、一匹)

ページ15:

Check☆
問61241 次の極座標をもつ点の直交座標を求めよ
(1)(1)
九
大=COS年
y = Sin 4
二
よって(赤/11/12)
(2) (2,季)
x=2 cosπ 1-2 sin
+2-(-3)-2-(-2)
F =
よって(-1-3)
匹)
(3) (3, 1)
2
y=3sin
7=3c0s 1-35in /
x=3COS
こ
0
y
肌
A
10
Date
No.
x
fr
(5)
=3
よって(0,3)
教P1376 次の直交座標をもつ点の極座標を求めよ
(5)(0)
(1) (√√3,1)
P
によりr=√3+1
= 2
y
COSD=14,Sing= 11 COSO = 1, SINO : 1/
よって0=
求める極座標は(2,吾)
2
60

ページ16:

Date
No.
37186(2)(1,-1)
r-12
Co≤O = 1/1, Sino = - 1/25 1 0 =
よって(巨)または(仮)
(3)(一, -1)
r=3+1=2
coso - - 1, sing = -1 811
2
2
より
A://π/または0:-)
-B
おって(27)(2,一号)
159 2.29 次の直交座標をもつ点の極座標を求めよ
(1) (11)
r = √2. COSO = -12, sing = 128110 = 21
よって(1
T
)
(2) (-3,0)
r=3, coso = -1, sin OJ'l O = TL
よって(3,π)
(3) (√√3-3)
r = 13+9, coso =
☑
2月1
61
A
ボ
Sing-
3
-
213
3
または(21)
=2√3
1/2
よって(2号)
(S)

ページ17:

Check
問P61_242
次の直交座標をもつ点の極座標を求めよ
(1) (1)
No. 62
r = √1+3
coso = ½, sino = 132 11) 0 =
- 110 11
存
3
=2
よって(2,吾)
(2) (5,0)
Z
1=5, cost=1.sin00より 0:0
よって(5,0)
(3) (√2-√2)
1=√√2+2 cosg= Sing
12"
=2
よって(2)または(2,一条)
1よりタ
5
0
または日=2
教P37 問7次の条件を満たす点全体はどのような図形になるか、
+
P
(1) 1:3
任意の母について、13なので
3
(3,8)
3.
原点を中心とする半径ろの円
(S)
(2)=(r≧1)
x = COS
任意のr(r)について
日本であるから.
q
7-sin
原点を通り軸の正の向きとの
=
((1,ρ)
なす角が母である半直線,
E
TU
(左の図の半直線)
0

ページ18:

230 次の条件を満たす点全体はどのような図形になるか、
(1)1=2
y
原点を中心とする半径2の円
(2) 0=-77 (r≥2)
ニー
原点を塗り、軸の負の向きとの
なす角が吾である半直線
左の図の半直線
0
N
No. 63
37 例題を正の定数とするとき、次の関数のグラフの概形をかけ、
r=acl+cose) (0505272)
R
x
本
0
のいろいろな値に対するrの他を
求めると下の表のようになる
L
00
F
80777 37
xrza67aa0.29ao
5η 3匹 グル
O
4 2 4
27
r0.29aa171a20
a
1.719
Iza
-a
凱
この赤からグラフをかくと、図のような曲線になる
(カージオイド(心臓形))
raci+ros)
racl+CDSD) r = a(1 + (7) = ac₁+ros / )
=a(1+1)
- ZA
=aci +
=a(1+0.707-3
≒1,710
a
r=a C1+ COST)
=a(1-1)
=0
1=0(1+(05年)
r = α (1 + cos &x) |_ r = a(l + cos / π) r = a(1+ ½ *)
r-a (i+ COS
=
a(1-0.707)
0.29a
=a
= a(1 +0.707.))
-1.719
= a(H1)
=20

ページ19:

No.
巻P138 問8 次の関数のグラフの概形を下の図を利用してかけ
O
(1) = (osos2匹) (アルキメデスの渦巻線)
r
兀
64
0 0
苦
TC
A.
27 37L
4 3
TL
2
3 4 6
ro
00
2
互
3
2
3
0.17 0.25 0.33 0.50 0.67 0.75 0.83
1
クル
06
5匹 4匹
3匹
57 77 17
272
4
2
4
3
3 4
7
5
ニ
r
N
4
B
2
3
4
(1)
1.17 125
1,33
1.50 1.67
1.75 1.83
(2)
2
6
π
27/3
6
(2) r=2sin20
O
r
6
N
0
5
πT
2½........
(0605272)
0.5
3
2017
0
要
TL
211
37L
58
3
Z
3
4
兀
6
3
1
2
2
D
2
1.5
1.5
日
7匹 54匹 証 ルクル
6
4
3
2
3
4
1172
E
272
I
3
r
3
T
Z
2
2
1
O
2
6,
r = 2 sin² 4 r = 2 sin² /
=2.(1/2)=2 (12)
法
= 1
r = 2 sin² = r = 2 sin² /
=2(5)
:21
=
3
2
=2.1
= 2

ページ20:

ページ21:

(2) r=sing
(050≤7)
TL TL 27L
TC
O
0
r
I
1
0
2
(1)
No.
5T
3
2
3
4
13
2
1
0
2
Elso
πT
2
0
/co
11月
6
@
5T
E
駅が
(2)別解
r=sinoの両辺にrをかける
017
66
r2=rsino
ox
P13
オナゲート2,yersino より
x² + y² = yf
オナザーy=0
x+1)=(z
(S)
NI
極座標による図形の面積]
曲線r=flo)(asOS(3)と2つの半曲線日=0,3で
囲まれた図形の面積は
S=1/l
= 1/5³ { f (o) } ² do = = 15 ³ ³ d
2

ページ22:

ページ23:

ページ24:

ページ25:

ページ26:

P4110 次の曲線の長さを求めよ
(1) r=sing+CDSD
D.
(一≦)
r=sino+coSD
r=coso-sino
x
r²+r)² = (sing+ (050)² + (cost-SING)
2(sin+cas2日)
=2
l=S √r+cm³ do
=
・[A]
={(-4)}
(2) r = Sin³ 1353 (0505372)
B
8
た
二
r = sin³ &
Sin I-u. I = vener
0
r=u³, u = sin v. v = I
dr_dr du dr
=
do ou dv do
=34². Cosv. !
sin² + cos &
r²+(r= (sin³)² + (sin cos 11 ) 2
二
Sind losing of cos2
3
+
sin+ 3 & 4 (sin²
=sing
D
3
3
s
+ cos² 1)
旦
→次のページへ

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ページ28:

ページ29:

Date
161861 245
(2) r = Sin
(0≤0≤4π)
o
1' = sin²³ of cas 4
r² + (r')² = sin³ & 1 + sin³ of cos² of
4
- sin' & (sin² & + cos² & )
o
= Sin³ ==
4
l = So" dr² + (r)² do
= for √ sin' && do
- Str sin³ & do
-("Sin't·4.dt
=
= 4 for sin ³ tdt
・丸
dt)
No.
r = sine & sin₤=u, & Vick
4
4
r = ut, u = sin√ √ = = F11
dr.dr.
dr de fe
do du do do
=
=44. Cosv. 4
=
sin cos
串三とおくと(4)ds=dt
10→4匹
010-747 4 do dt
+10→72
= 4√(√3 = sin³tht + √√ Sin't
= 4 (√ ² sm² tdt + for sin³ tdt)
=
=
8 fr² sin³ tdt
8.
= ½
2
3
· do =4dt
Sau sinh thi sinh th
(
ん
偶
for sin dt
1-3
n-2
31 Th
422
n-1.h-3
nn-2
His

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I che
Jax
= Sin+ x +C
a
(070)
03 広義積分
教 PI43
例題7 次の広義積分を求めよ.
dx
「ポーズ
dy
S", r = lin 11-²² dre
E-770. 11-22
8-710
= lim [Sin + x] +1 +6
ご
8770
78
Date
No.
x
E'
lion {Sin(1)Sin'(-1+2)}
8-710
8-770
sin - Sin (-1)
(
=== sin" sing-1, -≤ys 1). Sin' />
同様にSint(-1)=-
TE
したがって・聖~(^)
ホーズ
★注・不定積分からみて極限値のあることがわかる場合には、次のように
略記してい.
dy
STR
[sin x]"₁
= Sin' - sin' (-1)
= πL
問143 問1 次の広義積分を求めよ
(1)
de
lim SAVE TX+T
dx
8770
=
lim [2√X +1 ]-H+E
[2n+1]
8-710
lim (2-2)
27+0
=2
Sex+1)= = dx = 1====
Sex+1)====+(x+1)=
=2(x+1)+c

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