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Y5a,b を実数の定数とする。 xの3次式 P(x) = x3 +ax²+x+b があり,3次方程式P(x)=0の解の1つは1である。 (1) bをαを用いて表せ。 (2)3次方程式P(x)=0虚数解をもつとき, αのとり得る値の 範囲を求めよ。 (3)(2)のとき,3次方程式P(x)=0の虚数解をα,βとし, Q=(x-1)^+(β-1)とする。 Qをαを用いて表せ。 また, aが(2)で求めた範囲で変化するとき,Qのとり得る値の範囲 を求めよ。 (配点 50)
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令和7年度4月進研記述高3模試 @自学
(1) P(1)=0 より 13 + α.12 +1 + b = 0 ∴. b=-a-2圈
(2)
(1)より
P(x) = x3 +ax²+x-a-2
因数分解してP(x)=(x-1){x2+(a+1)x+a+2}
+1 +a
+1 -a-2 |1
+1 +a+1 +a+2
+1 +a+1 +a+2 0
P(x)が虚数解をもつには、x2 + (a +1)x + α + 2 = 0 …※
が虚数解を持てばよく、 ※の判別式をDとするとD<0と
なればよい。
D=(a+1)2-4(a + 2) = a²−2a-7 < 0
..1-2√2 <a<1+ 2√2
ページ3:
(3)
(2)のとき
2
x^+(a +1)x + α + 2 = 0
1-2√2 <a<1+2√2
・①
※で解と係数の関係より
a + β = -(a + 1), aβ = a + 2
…②
よって
展開
Q = (a-1)^+(β-1)2
= a² − 2a +1 + ß² −2ẞ +1
= (x²+β2)-2(a + β) + 2
まとめる
対称式変形
=(a +β)2-2aβ-2(a + β) + 2
②を代入
={-(a+1)}-2(a +2)-2{-(a+1)}+2
= a² +2a+1
▸ Q = a² + 2a+1 = (a + 1)²
y = Q(a)は中心 (-1, 0) の放物線だから、 ①の範囲で
グラフをお絵かきすると
12+8√√2
-10 1+2√2 a
0≦a <12+8√2
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