ページ3:

(2)A: 5x-2≦18 を解くと x ≦ 4/ B: -x+5<3 を解くと x >2
よって A∩Bは 2 <x≦4 であり, これを満たす9以下の自然数xは
また
3と4であるから
A
B
5
1
2
34
6
7
A∩B ={ 3, 4 }圏
8
9
モルガンさんより AUBA∩B であり,これを満たす9以下の
自然数xは3, 4 以外すべてだから
A
B
5
1
3
6
7
2
4
9
8
AUB = { 1,2,5,6,7,8,9}圏
AUB={1,

ページ4:

(3) 2次関数 f(x) のグラフがx軸と2点(1, 0),(3, 0)で交わる
⇒ 2次方程式 f(x)=0がx=1とx=3を解にもつ
f(x)=a(x-1)(x-3)
････① とおける
⇒ ①が点(0, 6)を通るから x = 0, y =6を代入すると
6=a(0-1)(0-3)
∴a=2
したがって, f(x)=2(x-1)(x-3)
(f(x) = 2x2-8x+6 )
※ f(x) = ax2+bx+c とおいて3点の座標を代入し, 連立方程式
を解いても求まりそうです。

ページ5:

(4) 花子さんが47日目までに読み進めたページ数は
1日目: x(ページ)
・2日目~ 47日目: (x-3)×4646x-138 (ページ)
⇒ 1日目~47日目: x+(6x-18)=47x-138
同様に, 花子さんが48日目までに読み進めたとすると, そのページ数は
1日目~48日目: x+(x-3) x 47 = 48x -141
よって, 花子さんが読んだ本の総ページ数が30xだから
47x-138<30x≦48x-141
という連立不等式が成り立つ。
○ 47x -138 <30x を解くと
17x < 138
○ 30x≦48x-141 を解くと-18x≦-141
..x < 8.1...
∴.x ≧ 7.8...
7.8 ≦ x < 8.1 を満たす整数x は x = 8 答 (x≧4を満たす)

ページ6:

2
〔1〕 xについての不等式
x2-3x-10≧0
(x+1)(x-k)<0
・①
がある。 ただし, kは定数で, k≠1 とする。
(1) 不等式①を解け。
(2)不等式①,②を同時に満たす整数x がちょうど 3個存在するような
kの値の範囲を求めよ。
(配点 10 )

ページ7:

(1) ①の左辺を因数分解すると (x+2)(x-5)≧0
よって
(x-a)(x-b)≥0, a<b
⇒ x≦a,b≦x
x≦-2,5≦x 答
(2) ②:(x+1)(x-k)<0を解きます。
ok<-1のとき k<x<-1
ok>-1のとき -1<x<k
①の範囲を数直線にお絵描きしてみますと
①
①
-5'
k
-4-3 -2 -1 ...5
⇒ -5≦k < -4
Kは-5でもいい
したがって, -5≦k <-4, 7 <k≦8
-1... 4
15
6 7
8
⇒ 7<k≦8
Kは8でもいい

ページ8:

③ 2次関数 f(x) = 2x2 + αx がある。ただし, aは定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
(2)-3≦x≦--における f(x) の最大値が6となるようなαの値を求めよ。
2
(3)2 次関数 g(x)=-x2 + 4x がある。 αを(2)で求めた値とし, fは定数で
t>-2とする。 -2≦x≦tにおけるf (x)の最小値をm, -2≦x≦tにお
ける g(x) の最大値をMとするとき,M + m > 2t となるようなtの値の範
囲を求めよ。
(配点 20 )

ページ9:

(1) 平方完成すると f(x) = 2x2 + ax
a
=2(x²+ x)
a
=2(x²+ x+
4 4
=2(x+2)2
-
2
8
2x.
したがって頂点の座標は(
8

ページ10:

(2)下に凸の放物線(f(x) = 2x2+αx)の最大値は,
定義域の中央の値(-3と-1の真ん中の-1)と, 放物線の軸(-2)
の位置関係によって次の三つに場合分けすれば必ず求まります。
ア: 軸が定義域の中央より左
イ: 軸が定義域の中央と同じ
ウ: 軸が定義域の中央より右
アの場合
4
7
4
すなわち a>7 ・条件のとき
1
1
最大値はf(--)=2・(-
a.
a+
1
1
これが6だから
--a+-=6
2
2
∴.a=-11
これは条件を満たさないから不適。
-3
7
1
a 7
イの場合
すなわち a =7 … 条件 のとき
4
2
4 4
1
1
最大値は f(- 2.
+a⋅(-
a
2
1
1
これが6だから
=6
∴.a=−11
これも条件を満たさないから不適。
Max
•Max
※f(-3) としても同じ結果を得ます。
-3
7
1
4
2
a
7
ウの場合
-
>-
すなわちα <7 ･･･条件 のとき
4
4
最大値は f(-3)=2・(-3)2+α(-3)=-3a +18
これが6だから -3a +18=6
Maxo
∴.a=4
これは条件を満たします。
イ, ウより a=4劄
-3 7
4
2

ページ11:

(3)(2)より α = 4 よって f(x) = 2x2+4x = 2(x+1)^-2 → 軸:x=-1
g(x)=-x2+4x=-(x-2)^+4→ 軸: x=2
▷ まずは,-2≦x≦tの範囲で f(x) の最小値を求めます。
m=f(t) =2t2+4t
ア: 軸が定義域よりも右, つまり-2 <t <-1のとき
イ: 軸が定義域の中、つまり-1≦t のとき
m=f(-1)=-2
※ お絵描きは自分でしてみてね♪
▷ 次に, −2≦x≦tの範囲でg(x) の最大値 M を求めます。
ウ: 軸が定義域よりも右, つまり-2 <t < 2のとき
エ: 軸が定義域の中、つまり2≦tのとき
M = g(t) = -t2 + 4t
M = g(2) = 4
▷ 最大値と最小値を同時に考えなくちゃなので、 次の三つに分けて
考えてみます。
-2/
2
i.-2<t<-1 ii.-1≦t<2. 2≦t
-1
>
i
ii
次ページ
自

ページ12:

(3) つづき
i. -2<t<-1 のとき M = -t2+4t,m=2t2+4t より
(12+4t) + (212 +4t) > 2t
整理するとft +10) > 0
t <-10, 0 t (条件を満たさないから不適)
ii.-1≦t < 2 のとき M = -1 +4t, m = -2 より
(t2+4t)+(-2) -2t
t2-61-2<0
3-√7<<3+√7
これと条件より
3-√7<<2
i.2≦t のとき
M=-4,m=-2 より
4+ (-2)>-21
t>-1
これと条件より
2≦t
i, i,より,求めるtの値の範囲は t>3-√7 圏
T=
ッキング

ページ13:

4 AB=3, CA = √3, cos/BAC=-
である△ABC がある。
3
(1) 辺 BC の長さを求めよ。
(2)△ABC の外接円の半径を求めよ。 また, △ABCの外接円の点 A
を含まない弧 BC 上に, 点 D を線分AD が△ABCの外接円の直径
となるようにとる。 このとき, sin/BAD の値を求めよ。
BE
(3)(2)のとき, 線分 AD と辺BCの交点をEとする。
その値を求めよ。
EC
また,△ABE の外接円の半径を求めよ。
(配点 20 )

ページ14:

(1) △ABC で、 余弦定理により
BC2 = AB2 + AC2-2.AB ACcos A
=32+(VB)2-2.3.√3.(
=18
A
B
・C
E
3
BC > 0 より
BC =3√2
(2)三角比の相互関係により
sin A = v1-cos2 = 11-(-
A= A
3
√6
=
3
△ABC の外接円の半径をRとすると、 正弦定理により
BC
2R=
=3√2-
√6
=
= 3√3
sin A
3
円周角の定理により ∠DBA=
90°
3√3
∴.R==
2
直角三角形 ABD で、 三平方の定理により ※ADは円の直径
BD=√AD2-AB2=√(3√3)2-32=3√2
よって、 直角三角形 ABD で、 正弦の定義により
BD 3√2 √6
sin ZBAD=
=
=
AD 3√3 3

ページ15:

(3) AD を底辺としたとき、
△ABD の高さと △ACD の高さの比
つまり、
△ABD の面積と△ACD の面積の比 B
BEとEC の比になります。
(相似の考えより)
△ABD の面積をS, ACD の面積をSとすると
S=ABxBD÷2=3×3√2+2=
9√2
2
D
S2 =ACxCD+2=√3×2√6÷2=3√2
BE_S_9√2
=
3
2
よって
=
=
EC S2
÷3√√2.
2
これとBC=3√2 より
また、(2)より
5 5
√6
sin <BAE=
3
BE =3√2x3_9√2
C
'E
CD=√(3√3)² -(√3)²
=2√6
よって、 △ABE の外接円の半径をR' とすると、 正弦定理により
2R'=
R'=
BE
sin ZBAE
9√3
10
√6_9√3
9√√2
=
5
3 5

ページ16:

⑤5 袋の中に, 1, 2, 3, 4 の数が1つずつ書かれた4個の赤玉と,
1,2,3の数が1つずつ書かれた3個の青玉, 1, 2の数が1つずつ
書かれた2個の白玉の全部で9個の玉が入っている。 この袋から同時
に3個の玉を取り出す。
(1) 取り出した玉がすべて赤玉である確率を求めよ。
(2) 取り出した玉に書かれた数の和が4である確率を求めよ。 また, 取
り出した玉に書かれた数の和が5である確率を求めよ。
(3) 取り出した玉に書かれた数の和が6以下である確率を求めよ。 また,
取り出した玉に書かれた数の和が6であり,かつ, 取り出した玉の色が
すべて異なる確率を求めよ。
(配点 20 )

ページ17:

(1)9個から3個を同時に取り出す方法は。 C3
4個の赤玉から3個の赤玉を取り出す方法は4C3
よって、取り出した玉がすべて赤玉である確率は4C3
4C3_4×3×2
=
9C3
1
=―
9×8×7 21
(2) 和が4
...
“1”が書かれた玉を2個と, “2” が書かれた玉を1個取り出せば
よい。
o “1” が書かれた玉を2個取り出す方法は 3 C2
○“2” が書かれた玉を1個取り出す方法は 3 C
3×3
3
=
28
9×8×7
9C3
よって、和が4である確率は
3C2X3C
和が 5
...
次の二通りありそう。
3×2×1
0
o “1” が書かれた玉を1個と、 “2”が書かれた玉を2個
3 C₁×3 C₁₂
o “1” が書かれた玉を2個と、 “3” が書かれた玉を1個
3C2×2C,
よって、和が5である確率は
3 CX3 C2+3C2 ×2C_3×3+3×2
5
9C3
=
9×8×7
28
3×2×1

ページ18:

(3) 和が 6 以下 和が3, 4, 5, 6の確率を足せばよさげ。
○和が 3: すべて “1” の玉を取り出せばよいので
3C3
1
=
9C3
84
3
○ 和が 4: (2) より
-
28
○ 和が 5 (2)より
5
28
和が 6: “1”+“2" + "3"/"1" + "1" + "4"/“2”+“2”+“2”
3C, X3C×2C,+3C2x,C,+3C3
18 +3 +1
22
=
9C3
84
84
これらは互いに排反だから, 和が6以下である確率は
+
-
+
+ ==
84
=
答
84
⇒
13 5 22 1 + 9 +15 + 22 47
84 28 28 84
和が6ですべて色が異なる 全部書き出した方がはやそう
(④, 1, ①): 1通り
3,2,1)/(3,2,1)/(3,2,①)/(3,2,1):4通り
(2,2,2): 1通り
よって, 和が6ですべて色が異なる確率は
1 + 4 + 1 6 1
=
9C3
84
=
14

ページ19:

6 AB = 9 の△ABC があり, 辺BC 上に BD = 6 となる点 D をとる。 ま
た,点Aを通り, 点 D で辺 BC に接する円を0とし,円0と辺AB の
交点のうち, A でない方の点をEとする。
[土]
E
A
B
D
-C
(1) 線分 BE の長さを求めよ。
(2)2直線 AD, CE の交点をF とする。 線分 BF が ∠ABD の二等分
DF
線であるとき, の値を求めよ。 また, ∠ADE = ∠ADC となるとき,
また,∠ADE
FA
線分AD の長さを求めよ。
(3)(2)の点F について, 線分 BF が ∠ABD の二等分線であるとする。
BC
EF
このとき,
この値と
-の値をそれぞれ求めよ。
CD
FC
(配点 20 )

ページ20:

(1) 方べきの定理により
BE×BA=BD'
BA = 9, BD = 6より
BE×9=62
∴ BE =4答
(2)
B
E
A
E
A
D
C
B
F
D
△BAD で, 内角の二等分線と比の定理により
接弦定理により
C
BA = 9, BD = 6 より
よって
AF:FD=BA:BD
AF:FD=9:6
DF 2
==
FA 3
∠ADC= ∠AED
仮定より
よって
△EAD は二等辺三角形だからAE=AD
(1)より
したがって
∠ADC= ∠ADE
∠AED = ∠ADE
AE = AB-BE = 9-4 = 5
AD = AE = 5答

ページ21:

(3)
B
E
A
F
D
C
図で, メネラウスの定理により
もういっちょメネラウスの定理により
BC: DC =6:5より
BD DC = 5:1
AE BC DF
x=1
EB CD FA
5 BC 2
-x- x==1
4 CD 3
BC 6
CD
EA BD CF
X-X-
AB DC FE
51 CF
95 FE
EF
==
5
1
=-
FC 9