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令和7年 1月進研記述高1模試@自学 B4 座標平面上に 円 C:x2 + y2-8x-6y +20 = 0 1 と,円Cの中心を通る直線l: :y -- ·x+k 2 x 2 + y2-8x-6y + 20 ≦ 0 があり,連立不等式 1 y x+k 2 の表す領域をDとする。 また, 中心が点 (α,0), 半径がrの円をK とする。ただし, k, a, rは定数とし, rとする。 (1) kの値を求めよ。 また, 円Cと直線lの共有点の座標を求めよ。 (2) a=0とする。 円Kと領域Dが共有点をもつとき, rの最小値と そのときの共有点の座標を求めよ。 また, 円 K と領域Dが共有点 をもつとき, rの最大値を求めよ。 (3)0≦a≦10 とする。 円Kと領域Dが共有点をもつとき, rの最 (配点 40) 小値をαの値によって場合分けをして求めよ。
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自学 © Akagi (1) 前半 円Cの中心の座標と半径を求める。 平方完成して (x-4)2+(y-3)²=5 中心 (4,3) 半径√5 kの値を求める。 中心の座標を直線lの式に代入して 3 =- 1 x4+k .. k = 5 2 ▲ 後半 円C:(x-4)² +(y-3)^=5, l:y=-x+5 2 円Cと直線lの共有点の座標を求める。 lをCに代入して 1 (x-4)2+(--x+5-3)2=5 :(x-4)²=4 2 整理して2次方程式を解くと これらをそれぞれℓに代入すると したがって, 共有点の座標は x=2,6 y = 4, 2 (2,4), (6,2)
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自学© Akagi (2) ▷ 準備 a=0より K:x2 + y2 = r2 r² 領域Dを図示すると (2,4) (4,3) (6, 2) x VI 0 (2,4) (4,3) (6, 2) X 前半 rが最小となるのは,原点から直線lまでの距離が最小, つまり 垂直に交わるときだから, 点 (2,4)を通るとき。 2点間の距離の公式により ▲ 後半 r = =√(2-0)2 +(4-0)²=2√5 終 共有点の座標は (2,4) rが最大となるのは、2つの円の中心を通る線を引き,その線と 円Cとの交点のうち原点から遠いほうの点をとって原点と結んだ とき。 つまり, 原点から円Cの中心までの距離に円Cの半径を加えた 距離 2点間の距離の公式により r=√√(4-0)²+(3-0)2+√5=5+√5
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自学 © Akagi (3) 点 (6,2)を通る傾きが2の直線の式は y = 2x-10 この直線と x 軸との交点は (5, 0) よって,:0≦a≦5 と ①:5≦a≦10 に分けるとよさげ。 ⑦ 0≦a≦5 のとき 円Kの中心 (α, 0) と直線l:y=- 1 2x + 50 +5との距離がrの 最小値だから 点と直線の距離の公式により x+2y-10=0 |a+2×0-10| |a-10| r = V12 + 22 √√5 0≦a≦5より a-10 √√√5 = (10-a)| √5 5 ① 5≦a≦10 のとき y 円Kの中心(a, 0)と領域 D内の点 (6, 2)との距離がの 最小値だから 2点間の距離の公式により √(6-a)+(2-0)^= √a2-12a +40 r = a)² 0)² y=2x-10 y y=2x-10 (2,4) C (4,3) (6, 2) (2,4) (4,3) (6, 2) /5 a 10 x a 15 10
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