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令和7年 1月進研記述高1模試@自学 B1 多項式P(x)=x3+(k-2)x2+ (3-2k)x-6がある。ただし, んは実数の定数である。 (1) P(2)の値を求めよ。 また, P(x) を因数分解せよ。 (2) 方程式P(x)=0が異なる2つの虚数解をもつとき, kのとり得る 値の範囲を求めよ。 また,このとき,2つの虚数解をα, β とする。 a 2 + β2 + 2a + 2,β +3aβ=11であるとき, kの値を求めよ。 (配点 20)
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Ẻ HOAkagi P(x) = x³ + (k − 2)x² + (3 −2k)x−6 (1) P(2)=23+ (k-2)×2² +(3-2k)×2-6 =8+4k-8+6 −4k − 6 = 0☑ P(x)はx=2を解にもつので,P(x) を x=2で割ると (k-2) (3-2k) 1 -62 21 2k 6 1 k 3 0 P(x)=(x-2)(x²+kx+3)
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自学 © Akagi (2) P(x)=(x-2)(x2 + kx +3) =0が異なる2つの虚数解をもつとき Q(x) = x2 + kx +3=0が異なる2つの虚数解をもつ。 すなわち, Q(x) =0の判別式をDとすると, D<0となればよい。 D=k2-4×1×3 < 0 ∴.k2 -12 < 0 (k-2√3)(k+2√3) <0 -2√3 < k < 2√3 このとき, Q(x) = 0 の異なる2つの虚数解をα,βとすると, a +β=-k 解と係数の関係により ・① aβ = 3 一方, a2 + β2 +20 + 2β + 3aβ = 11 を変形すると (a +β)² -2aβ +2(a + β) + 3aβ = 11 ①を代入して (-k)²-2x3+2×(-k)+3×3=11 ∴. k2 -2k-8 = 0 ∴ (k+2)(k-4) = 0 -2√3 < k < 2√3 ± k=-2 終
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