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H.27 1月進研記述高2模試 @自学
B5 数列{a}は a = 2, a,+1 = pan +3(n=1,2,3, …)
を満たしている。 ただし, pは正の定数とする。
(1) p=1のとき, a を求めよ。
20
(2)α-a=15であるとき、 pの値を求めよ。 また,このとき,
am を n を用いて表せ。
an
(3)(2)のとき,
k=1
(配点 40 )
k(a,+3)をnを用いて表せ。
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自学
等差数列型の漸化式
(1)
•
a₁ = 2
•p=1のとき
an+1 = an +3
数列{a}は、初項2、公差3の等差数列だから、一般項は
n
a„=2+(n-1)×3=3n-1
よって
a20
=
: 3 × 20-1
= 59 劄
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(2) 前半 An+1 = = pa +3① n ① に n=1を代入すると ① に n=2を代入すると a3-a = 15 より a₁ = 2 a₂ =pxa +3=2p+3 a₁ = pxα₂+3= px (2p+3)+3 2 =2p² +3p+3 2 (2 p² +3p+3)-2=15 2p²+3p-14=0 (2p+7)(p-2) = 0 p>0より P = 2
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(2) 後半
p=2のとき
a
In+1=2an
+3
②の特殊解をα とおいて特性方程式を解くと
a = 2x +3
②
特殊解型の漸化式
a=-3
よって、②は
ant1
+3=2(a,+3)
am+1 +3 = 2(a +3) ...... ③
n
a+3=b とおくと③はb,+1=2b, b,=2+3=5
よって、数列{b,}は初項5、公比2の等比数列だから
b =5.2"-1
n
元に戻すと
an+3=5.2-1
したがって
an
=5.2"-1-3 圏
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(3)(2)より a = 5.2"-1-3 ここで n k(ak +3)=5.k. 2-1 (等差数列) × (等比数列) 型 5は後回しに S=k.2k-1とすると公比をかけて引き算 k=1 2 S, =1.2° +2.2' +3.2 + … +(n−1). 2-2 + n. 2"-1 n -) 25 = n 1.2' +2.22 +･･･ n-1 + (n-2).2"-2 + (n − 1) · 2″¯¹ + n ⋅ 2" . - S = 1 2 +2' + + +2' n-2 ... n +2"-1 - n.2" 初項2・公比2・項数n-1の等比数列の和 2(2n-1-1) =1+ n. •2" 2-1 よって = (1-n) 2"-1 . S=(n-1) 2" +1 n したがって 2k(ak+3) = 5Sm k=1 = 5(n-1) 2"+5
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