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H.27 1月進研記述高1模試 @自学 AD // BC, AD <BC の台形ABCD があり, AB = 4, 4 2√7 AD = 2,∠BAD = 120°, sin / BCD= である。 7 (1) 線分 BD の長さを求めよ。 また, △ABD の面積を求めよ。 (2) sin∠ADB の値を求めよ。 また, 辺 CD の長さを求めよ。 (3)辺 BC の長さを求めよ。 また, 線分 ACとBD の交点をE とするとき, △CDE の面積を求めよ。 (配点 20)
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(1)△ABDで余弦定理により ●自学 BD2 = AB2 + AD2-2.AB・AD cos /BAD =42+22-2.4.2cos120° =16+4-16・ = = 28 BD>0より BD =2√7 また、三角形の面積の公式により (1) A 2 Đ 1200 4 1 △ABD -- ABADsin/BAD 2 B 1 ・4・2sin 120° 2 4.2. 2 =2v3. = 2 キ
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(2)△ABDで正弦定理により AB A 2 BD 120° sin∠ADB sin/BAD sin∠ADB = 4+2V7 x √3 4 2 /21 7 また、平行線の錯角は等しいから ∠ADB= ∠DBC sin∠ADB=sin/DBC CD BD よって、 ABCDで正弦定理により sin ZDBC sin ZBCD CD=2√7 + = /21 2√7√21 7 × 7
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(3)三角比の相互関係により 2 cos ∠BCD = √1sin' BCD 2 = 2√7 7 A Đ /21 7 BC = x とおきます。 △BCDで余弦定理により (2√7)²=x2+(√21)2-2.x・√21 cos/BCD 28 = x2 + 21-2√21x. x2-6x-7=0 (x+1)(x-7)=0 x>0より x=BC=7+ √21 7 W21
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(3)AD:CB=2:7。 △ADE∽△CBEで、相似比は 2:7だから AE:EC=2:7。 △ABDの面積は2√3で、 B ・ア A 2 ②2 < E ワ △ABD=△ACDだから、△ACDの面積も2√3。 ･･････イ △ADEと△CDEは、高さが等しいので底辺の比(27)が面積の 比になるから 7 14√3 △CDE=△ACDx = 9 9
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