ページ3:

プチ解説 252 (計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´))
> y = f(x) = x + 3x2 + x + 7より
f'(x)=3x2 + 6x + 1
接点を(t, t3 + 3t2 + t + 7 ) とすると, 求める直線の方程式は定点公式
により
y-(t3 + 3t2 +t + 7) = (3t2 + 6t + 1)(x-t)
∴ y = (3t2 + 6t +1)x -2t3-3t2 +7 ･････①
直線①が点(1, 4)を通るから
4 = (3t² + 6t + 1)×1-2t3 - 3t2 +7
整理して
f-3t-1=0 ∴ (t+1)^(t-2)=0 ∴t= -1,2
ア)t=-1のとき,① より y=-2x+6|
ここで,x3+3x2 + x + 7 = -2x +6を解くと
x3 +3x2 +3x + 1 = 0
∴(x+1)=0
∴x=-1
これは, y = f(x)と直線がただ1点で接することを示している
ので不適。
イ) t=2のとき,① より
ly=25x-21
ここで, x3 + 3x2 + x + 7 = 25x-21を解くと
x3 +3x2 -24x + 28 = 0 ∴(x-2)^(x+7) = 0
∴x=2(2重解),-7
これは,y=f(x)と直線が1点で接し, 他の1点で交わることを
示しているのでおk。
ア, イより, 求める直線の方程式はy=25x-21

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プチ解説 260(計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´))
■ f(x) = x4 + ax'+bx2-12x/x=-3で極小値-9をもつ
xで微分すると f'(x) = 4x3 + 3ax²+ 2bx-12
▲ x=-3で極値をもつので f'(-3)= 0
∴4(-3)' + 3a(-3)2 +26(-3)-12=0
∴.9a-2b=40
.....
・①
f(-3)=-9 より
(-3)+ + α(-3)+b(-3)^-12(-3)=-9
∴9a-3b=42
①と②を連立方程式として解くと a=4, b=-2
f(x) = x +4x3-2x2-12x より f'(x) =4x3 +12x2-4x-12
f'(x)=0のとき x=-3, -1, 1
f(x) の増減表を書いてみると
IC
...
-3
...
f'(x)
-
0
f(x)
+
ī
☐☐
=4(x-1)(x+1)(x + 3)
|
...
0 +
|極小 > 極大 \ 極小 >
f(x)は x = -1で極大となり,極大値はf(-1)=1-4-2+12=7

ページ5:

プチ解説 266(計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´))
y = sin 26(sin 0+ cos 0-1)
....①
2倍角の公式により
sin 20 = 2sin Acos e
①は
y = 2 sincos 8(sin0 + cos0-1)
2
t = sin 0 + cos とおき, この両辺を2乗すると
t2 =1+2sinOcos o
②は
∴2sin Acos0=t2-1
y = (t² − 1)(t − 1) = t³ − t² − t +1
π
また, tの範囲を求める。 合成すると t = √2 sin(0+-)
0≦0≦πより
一方
兀
≦sin (+1) ≦1
4
辺々に√をかけて
y=f(t)=t-f -t +1 とおくと
f'(t)=3t2 - 2t-1=(3t+1)(t-1)=0 より
y=f(t)の増減表を書いてみますと
t
f(t) *
f(t)
0
+
1
○
-
。
+
√2
*
|3|2|
0 1√2-1
27
32
表より, 0≦x≦
27

ページ6:

プチ解説 273(計算ミスがあったらごめんなさい(`・ω・´))
f(x) = 2x3-3(a+1)x2+6ax+a, a≧0
(1) f'(x) = 6x2 - 6(a+1)x + 6a
(2) f'(x)=6(x-a)(x-1)=0 より x = a, 1
a <1, a = 1, 1 <α で場合分け。
~最小値が0以上となるような値の範囲をさがします~
ア) a<1, すなわち 0≦a<1 のとき, x=1で最小となるので
f (1) ≧0となればよい。
ここで,f(1) = 4a-1 より 4a-1≧0
これと 0≦a <1 より
≦a<1
・①
4
イ)a= ・・・・・② のとき,
a 1
f(0)=a≧0 であり, x≧0でf(x)は単調増加(増加関数)
だから f(x) ≧ 0を満たす。
ウ)1<a のとき,x=αで最小となるので f (a) ≧ 0 となればよい。
ここで,
f(a) = -a3 +3a2+a=-a(a^-3a-1)
であるので-a(a²-3a-1)≧0
∴a(a²-3a-1)≦0
1 < aより
2
これと1<a より 1 <a≦
a2-3a-1≦0
3-v13
Sas3+√3
3+√13
1
a
2
2
①,②, ③をすべて満たす範囲は L≦a≦3+
3+√13
2