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2024年度 9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi Ⅱ型 ⑤ 【Ⅱ型数学 I, A, Ⅱ, B, C 選択問題】(配点 50点) 片方の面が白色, もう片方の面が黒色の3枚のカードがあり,3枚とも 白色の面を上にして横一列にテーブルに置かれている. 次の操作を繰り返し 行う. (操作) 箱の中に1が書かれた球, 2が書かれた球, 3が書かれた球の合計 3個の球が入っている. この袋の中から無作為に1個の球を取り出し, 取り出した球に書かれた数k (k= 1, 2, 3) に対して,左からk番目のカー ドだけを裏返し, 取り出した球は袋に戻す . この操作をn回(n: = 1, 2, 3, ...) 行ったとき, 左端のカードの上面が白 色である確率を p" とする. (1) Pi, P2 を求めよ. (2)P+1をp, を用いて表せ. また, p, を求めよ. (3)n≧3 とする. n回目の操作後に左端のカードの上面が白色であった とき,2回目の操作後に3枚とも上面が白色である条件付き確率 q, を 求めよ.
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自学@Akagi (1) 左端のカードの上面が白色である確率を Pn ▷ p:② または③を引く確率だから P₁ - ☐ ☐ ☐ ▷ p2:1回目が終わった時点で左端が白色で,2回目に②または③を引く 22 ☑-= 4 1回目が終わった時点で左端が黒色で、2回目に①を引く 111 -α-=- 33 9 これらは互いに排反だから Pi =-+ 1 9 9
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2
▷
Pn+1 = Pn
n回目が終わった時点で左端が黒かつ
n+1回目で①
1
- Pn) ×
n回目が終わった時点で左端が白かつ
n+1回目で②か③
:Pn+1
・Pn +
3'
3
1
▷ 特殊解型の漸化式 Pn+1
==
p, t-...
n
3
(*)の一般項を求める。
• 特性方程式α-α+を解くと、特殊解はα-12
3
=
○よって(*)は
Pn+1
= Pn
2 3
2
opn
1
=
n
2
とおくと In+1
=
r₁ = P₁
3
=
2 3 2
} } }
よって数列{r}
■ } は初項 -
公比-の等比数列だから
○ 元に戻して
すなわち
n
=
-
6
(126)
3
12-12(
Pn =
=
=
10+
n
3
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(3) n≧3 n回目の操作後に左端のカードの上面が白色である確率は Pn 2回目の操作後に3枚とも上面が白色なのは, 1回目と2回目に同じカードを裏返し, 11 1 1 1 -x-+-x-+-x-= 3333 3 左端 真ん中 右端 残りのn-2回の操作後に左端のカードの上面が白色→Pn-2 1 1 であればよいので ・XPn-2 =- Pn-2 よって, 求める条件付き確率はイアより n-2 + 1 an == Pn-2 Pn = × n 2 32+3" 37-1 +3 × 3 + 1 3 1+3" 3"+1
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