4 [2001 神戸大]
(1)a,b,c を整数とする.x に関する 3次方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解を
もつならば,その解は整数であることを示せ。ただし、正の有理数は1以外の公約数
をもたない2つの自然数m,n を用いて! と表せることを用いよ.
m
(2) 方程式x+2x2+2=0は, 有理数の解をもたないことを背理法を用いて示せ .
[解答
mとnが1以外に公約数をもたない自然数であるとき, 「mとnは互いに素である」と
いう。
(1) 方程式x+ax2+bx+c=0が有理数の解x = αをもつとする.
α=0のとき,αは整数となる.
α>0のとき, α= n (m,nは互いに素な自然数) とする.
m
x=αは方程式の解であるから
a³+aa²+ba+c=0
3
2
( m )³ + a( m )² + 6( m) +
b
m
m
ゆえにn+amn²+bmin+cm²=0
よってn=-man²+bmn+cm ² )
a, b, c, m, nは整数であるから,ndはmの倍数である.
mとnは互いに素であるから、mとnも互いに素である.
したがってm=1?
ゆえに, αは整数となる.
すなわち
n
- +c=0
2両辺にかける
また, α<0のとき, α=-- とすると,同様の結果が得られる.
m
(2) 方程式x+2x2+2=0が有理数の解x =α をもつと仮定する.
(1) から, αは整数である.
a³ +2a²+2=0+5 a³ +2a² = -2
すなわち α2 (a+2)=-2
αは整数であるから (α, α+2)=(1,-2),(-1,-2)
しかし,これを満たす α は存在しないから, 矛盾.
したがって, 方程式x3+2x2+2=0は有理数の解をもたない.
